ACM常见博弈（更新中）

巴什博弈（Bash Game）

题意：n 个石子，两人轮流取，可以自己挑选 1 到 m 个，谁取完最后一堆谁获胜.

结论：

$n \% (m+1)==0$ 先手必败,否则必胜

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尼姆博弈论（Nimm Game)

题意：n 堆石子，每堆石子有a[i]个，每人轮流取，每次取某堆石子至少一个，最后取完者胜。

结论

$a_{1} \bigoplus a_{2} \bigoplus.... \bigoplus a_{n}$不为0，则先手必胜,反之先手必败

证明

在此贴上大佬的博客
https://blog.csdn.net/k_koris/article/details/81743806

延伸

三堆石子a,b,c 且 a>b>c;
如果a ^ b ^ c不为0，则当前人必胜，令a=b ^ c;
则实现转移

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威佐夫博奕（Wythoff Game）

题意：有两堆石子，有两种取法：
1.从一堆石子取走任意多颗（>=1）
2.从两堆石子取走相同的任意多颗(>=2)
最后取完者胜

结论

$a_{k} =\left \lfloor \frac{k*(1+ \sqrt{5} )}{2} \right \rfloor，b_{k}= a_{k} + k （k=0，1，2，…,n 方括号表示向下取整)$

若满足上述状态，必败，反之必胜

延伸

若当前状态为 $(a,b)$，b>=a,求状态转移方法
若当前转态已经是必败态，就不需要转移了
当前状态              转移方法                                   后一状态                         条件
$(x,y)\to\left\{\begin{matrix} y拿y-b_{k}个石子& (a_{k},b_{k})& x=a_{k},y>b_{ k}\\ x,y拿x-a_{y-x}个石子&(a_{y-x},a_{y-x}+y-x)& x=a_{k},x<b_{ k}\\ x拿x-a_{k}个石子& (a_{k},b_{k})& x>a_{k},y=b_{k}\\ x,y拿x-a_{y-x}个石子&(a_{y-x},a_{y-x}+y-x)&x<a_{k},y=b_{k}\\\end{matrix}\right.$

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斐波那契博弈（Fibonacci Nim Game）

有一个堆n个石子（n>=2)，第一个人可以取任意多个，但是不得一次性把所有石子取完，后一个取的石子数量不得超过第一个人的两倍，最后取完者胜/

结论

若n不是斐波那契数列的某一项，则必胜，反之必败

延伸

若n不是斐波那契数列的某一项，根据某一定理：当一个数不是Fibonacci数时，这个数必然等于若干个Fibonacci数之和，并且这些Fibonacci数在Fibonacci数列中都不相邻。
设 $n=f(a_{n})+...+f(a_{2})+f(a_{1})$
先手拿最小的斐波那契数 $f(a_{1})$，但是因为 $f(a_{2})>2*f(a_{1})$
则后手不能一次性将f(a_{2})拿光，因此先手必胜，策略如上

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Sprague-Grundy定理（SG定理）

没找到相应的博客，就按照我自己的理解来吧。
类似动态规划，sg[i]表示当前状态，若在最优情况下，每个人都想要自己获胜，只要存在一个sg[j]状态，使得
sg[j]必败且 $i \to j$，这个代表着存在在一种方案，使得当前当前状态转移到一个必败状态。若存在这样方案，则sg[i]必胜，反之必败.

题目

POJ:
取石子游戏
Matches Game
Nim
A multiplication game
A Funny Game
A Chess Game
S-Nim
Georgia and Bob
A New Stone Game
Nim
John
Euclid’s Game
Christmas Game

HDU:
取石子游戏
取石子游戏
John
Stone Game II
Parallel Expectations
find the nearest station
Catching Fish
Digital Deletions
A Multiplication Game
A Chess Game
Euclid’s Game
S-Nim
Play a game
Stone Game
Northcott Game
Brave Game
Good Luck in CET-4 Everybody!
Fibonacci again and again
Rabbit and Grass
Being a Good Boy in Spring Festival
kiki’s game
Public Sale
取(m堆)石子游戏
取(2堆)石子游戏
悼念512汶川大地震遇难同胞——选拔志愿者

ZJU:
ZJU 3057 beans game