【LOJ6570】毛毛虫计数

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/qq_39972971/article/details/89233677

【题目链接】

• 点击打开链接

【思路要点】

• 定义毛毛虫的主链为去掉度为 $1$ 的节点的部分。
• 主链长度不足 $2$ 的情况即为一个菊花图，显然有 $N-[N=2]$ 种。
• 考虑枚举主链长度 $i\ (i\geq 2)$ ，任意排列主链上的点，共有 $\frac{N^{i}}{2}$ 种。
• 对于剩余节点，我们要求主链的头、尾必须挂有节点，剩余节点是否有子节点任意。
• 利用容斥原理，挂子节点的数量为 $i^{N-i}-2(i-1)^{N-i}+(i-2)^{N-i}$ 。
• 时间复杂度 $O(NLogN)$ 。
• 使用生成函数做法可以求出 $1\sim N$ 所有的答案。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 5;
const int P = 998244353;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
	if (x < 0) x = -x, putchar('-');
	if (x > 9) write(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
	write(x);
	puts("");
}
int fac[MAXN], inv[MAXN];
int power(int x, int y) {
	if (y == 0) return 1;
	int tmp = power(x, y / 2);
	if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
	else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int getc(int x, int y) {
	if (y > x) return 0;
	else return 1ll * fac[x] * inv[y] % P * inv[x - y] % P;
}
void init(int n) {
	fac[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % P;
	inv[n] = power(fac[n], P - 2);
	for (int i = n - 1; i >= 0; i--)
		inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1ll) % P;
}
void update(int &x, int y) {
	x += y;
	if (x >= P) x -= P;
}
int main() {
	int n; read(n); init(n);
	int ans = n - (n == 2);
	for (int i = 2; i <= n - 2; i++) {
		int coef = 1ll * fac[n] * inv[n - i] % P * inv[2] % P;
		int now = power(i, n - i);
		update(now, P - 2ll * power(i - 1, n - i) % P);
		update(now, power(i - 2, n - i));
		update(ans, 1ll * now * coef % P);
	}
	writeln(ans);
	return 0;
}