2013年7月
今天和王老师偶然在走廊上说了几句关于困惑我两个月的Harnack常数的问题和C^{1,\alpha}估计等；王老师依然是说用当时N.Trudinger 在Inv.Math 上的技巧可以化解那些含有无界低阶项的C^{1,\alpha}估计问题，但是只能做到b属于L^{2n}，因此还是距离我要的差一点点，王老师提示我用L.A.Caffarelli的书上的方法试一试. 其实我之前也大概算过，但是我当时也已经意识到可能要得到基本的Harnack，那么b的L^n模小于一个正的常数才可以自然做出来. 今晚又翻了翻M.V.Safonov，以及S.Kokie 和A.Swiech的文章，其实仅仅对于连续到边界的Strong solution来说, (不考虑L^p或者L^n Viscosity solution, 这中间有很多未确定的问题), 那么可以用Caffarelli的方法完全来重复一遍. 因此b的L^n模可能小于一个正的常数，事情绝对OK, 其实在M.V.Safonov在证明Haranck时用到Growth 引理中就对b的L^n模小于一个正的常数以及b的L^n模大于前面的正常数时候进行了处理，如果用S.Kokie 和A.Swiech的结果来解释，似乎就是画圈圈（要求重叠部分，相当于可以搞一串可以用Haranck的区域覆盖,每一个小的区域上b的L^n模可能小于一个正的常数）分割，在每一小块上用Hanarck，然后就可以在整个区域上OK了.事情就是这么简单.
而我想做的含低阶项情形的凸区域边界可微性或者边界C^{1,Dini}估计并不需要把Haranck常数算的那么清楚, （这似乎并不适太难），在边界点附近的邻域里面,因为区域体积非常小，所以总是可以用刚才b的L^n模小于一个正的常数情形的Harnack，这样这个常数似乎就一致了，而这正是王老师的迭代方法中最最关键的一环，其他细节部分，我想照着上一次说的边界Lipschitz估计的方法就完全可以通过了，唯一需要再次确认Caffarelli书上的定理细节. OK
至于这一次M.V.Safonov所提的关于仅假设b属于L^{n+1}(时空区域)的抛物方程Haranck方程时候成立，我想如果找个王老师的博士论文上做一遍的话，肯定得加上r^{-1/(n+1)}||b||_{L^{n+1}(Q_r)}很小这样的条件的条件，然后迭代得到初步的Harnack不等式，然后再根据根据相应的分割来做一般情形. 事实上，抛物情形的迭代这个时候变得很复杂，不知道有没有简化的方法，知道当时那么如何控制t时间方向的误差实在没怎么搞懂，且写作过程似乎也没有椭圆情形那么优美自然！不过当然有他的妙处！
其实这中间还有个全空间Liouville定理，其实按照刚才的说法，还是把充分大的球细分，然后球外部和任意充分大的球相交的环域上，b的L^n模总是可以小于之前那个正的常数，这样就可以画圈圈用Harnack了. 然后令R趋于正无穷，We are done！
今天说起了陈景润先生的(1+2)的工作，当然这里的(1+2)有数学家们自己的规定(如什么殆素数)，而大家似乎不注意就误解了, 别人说的是任意充分大偶数总可以表示为p1+p2*p3或者p1+p2,的形式 这里的或者表示二者至少有一个是对的，可能大家认为是任意充分大偶数总可以表示为p1+p2*p3，而这个似乎是异常困难的.