多项式基础II 多项式求逆 多项式取模 多项式开方 多项式牛顿迭代 多项式ln 多项式exp

版权声明：转载必须注明原文链接，并且每50字（半角，向上取整）就要注明一次，侵权必究 https://blog.csdn.net/myjs999/article/details/84206246

多项式求逆

已知 $f(x)$，要求出 $g(x)$满足 $f(x)g(x)\equiv 1\pmod {x^n}$
其中模 $x^n$的意义是将指数大于等于 $n$的部分都去掉。

将 $n$向上扩充为 $2^k-1$。假设我们已求出 $g'(x)$满足 $f(x)g'(x)\equiv 1\pmod{x^\frac{n}{2}}$
显然在模 $x^n$成立的条件在模 $x^\frac{n}{2}$时也成立。于是上两式相减得 $f(x)(g(x)-g'(x))\equiv 0\pmod{x^\frac{n}{2}}$
由于 $f(x)\not\equiv0$，因此 $g(x)-g'(x)\equiv 0\pmod{x^\frac{n}{2}}$
两边平方得 $g^2(x)-2g(x)g'(x)+g'^2(x)\equiv 0\pmod{x^n}$
两边同乘 $f(x)$得 $g(x)-2g'(x)+f(x)g'^2(x)\equiv 0\pmod{x^n}$
于是 $g(x)\equiv 2g'(x)-f(x)g'^2(x)\pmod{x^n}$
用FFT计算，递归求解即可。总时间复杂度为 $O(n\log n)$。

口诀：减去平成（2019.2.7）

多项式取模（多项式带余除法）

给定 $f(x)$、 $g(x)$，要求 $q(x)$、 $r(x)$满足
$f(x)=g(x)q(x)+r(x)$
设 $f(x)$的阶为 $n-1$， $g(x)$的阶为 $m-1$，则 $q(x)$的阶为 $n-m$， $r(x)$的阶小于 $m-1$。

将 $f(x)$、 $r(x)$的系数在 $[0,n-1]$内翻转， $g(x)$的系数在 $[0,m-1]$内翻转， $q(x)$的系数在 $[0,n-m]$内翻转。以下标 $r$表示翻转，则同样有 $f_r(x)=g_r(x)q_r(x)+r_r(x)$
由于 $r(x)$的指数范围是 $[0,m-2]$，因而 $r_r(x)$的指数范围是 $[n-m+1,n-1]$。因此
$f_r(x)\equiv g_r(x)q_r(x)\pmod{x^{n-m+1}}$ $q_r(x)\equiv f_r(x)g_r(x)^{-1}\pmod{x^{n-m+1}}$
由于 $q_r(x)$的指数范围是 $[0,n-m]$，模 $x^{n-m+1}$对其不产生影响。于是可由此直接得到 $q(x)$。

多项式开方

求 $g(x)$满足 $g^2(x)\equiv f(x)\pmod{x^n}$。

假设已求出 $g'(x)$满足 $g'^2(x)\equiv f(x)\pmod{x^\frac{n}{2}}$，则 $g'^2(x)-g^2(x)\equiv 0\pmod{x^\frac{n}{2}}$ $(g'(x)+g(x))(g'(x)-g(x))\equiv 0\pmod{x^\frac{n}{2}}$ $g'(x)-g(x)\equiv 0\pmod{x^\frac{n}{2}}$
两边平方得 $g^2(x)-2g(x)g'(x)+g'^2(x)\equiv 0\pmod{x^n}$
于是 $g(x)\equiv\frac{f(x)+g'^2(x)}{2g'(x)}\pmod{x^n}$
递归求解即可。注意如果取模，计算常数项时应用二次剩余。

现在你已经可以做小朋友与二叉树了。

11.19 here

扫描二维码关注公众号，回复： 5964974 查看本文章

---

多项式求对数

求 $\ln f(x)\pmod {x^n}$。

$\ln f(x)\equiv \int(\ln f(x))'\equiv \int\frac{f(x)'}{f(x)}\pmod{x^n}$。用多项式求导、多项式积分和多项式求逆即可。

多项式牛顿迭代

给定 $g(f(x))$，求其零点（即求一个 $f(x)$使 $g(f(x))\equiv 0\pmod {x^n}$）。

多项式上的牛顿迭代公式 设 $f_0(x)\equiv f(x)\bmod x^\frac{n}{2}\pmod{x^n}$，则有 $f(x)\equiv f_0(x)-\frac{g(f_0(x))}{g'(f_0(x))}\pmod{x^n}$
递归解决即可。注意每次问题规模减半，每层复杂度 $O(n\log n)$，因此总复杂度为 $O(n\log n)$。

多项式exp

求 $f(x)\equiv e^{h(x)}\pmod {x^n}$。

两边取对数得 $\ln f(x)\equiv h(x)\pmod{x^n}$
设 $g(f(x))\equiv \ln f(x)-h(x)\pmod{x^n}$，则问题变为求该函数的零点。由多项式上的牛顿迭代公式，有 $f(x)\equiv f_0(x)-\frac{\ln f_0(x)-h(x)}{\frac{1}{f_0(x)}}\pmod{x^n}$ $f(x)\equiv f_0(x)\cdot(1-\ln f_0(x)+h(x))\pmod{x^n}$
用牛顿迭代的方法递归即可。

多项式的幂

求 $f^{g(x)}(x)$。

$\equiv e^{f(x)\ln g(x)}\pmod{x^n}$
用多项式求对数和多项式exp即可。

Talk is cheap, show me the code!

[+] view code

---

FFT、NTT及FWT见多项式基础I。
多项式多点求值和多项式快速插值见多项式基础III。
另有任意模数NTT，无迹可循。