CF 1137E Train Car Selection

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题目大意

给出列车初始节数以及操作次数，对于每一次操作查询车厢价值最小的节数及价值。每节车厢的初始价值均为0。
对于每次查询，第一个数字位‘1’时，在火车头加‘ b’节车厢；第一个数字为‘2’时，在火车尾加‘b’节车厢；第一个数字为’3‘时，将所有的车厢的价值重新计算，在原价值基础上加b+(ind-1)*s。

题目分析

当在车头加车厢的时候，第一节车厢无论后面如何重新计算价值，它都是最小的。
当在车尾加车厢的时候，如果当前第一节车厢价值不为0，则新加的第一个车厢的下标及价值为答案。此时需要处理一下现有的数据。

假设已有三个点，要在车尾加入第四个点，由图可知前两个线段所在直线的斜率依次增加，而三四点之间的斜率要小于二三点之间的斜率。由于每次进行操作三的时候，相当于当前位比前一位多加了下标位移差个s。（a_i = a_i + b + ( i - 1 ) * s ; a_i+1 = a_i+1 + b + i * s . 则 △a_i+1 - △a_i = s )
我们设二三点之间的斜率为 k₁，三四点之间的斜率为 k₂。
若 s *△ index 小于两点价值差△value，即 s <△value / △index，即 s < | k | ( 斜率 )。
当 s <= k₁时，点二与点三之间的价值相当于在原基础上减少了 s *△ index （此时 s *△ index = s * 1），二三点之间的斜率变为 k₁^’ = -（ △value - s *△ index）/ △ index = k₁ + s。同理，三四点之间的斜率变为 k₂^’ = k₂ + s。此时 k₂ < k₁ <= 0，即点二三四的价值仍旧依次降低，点四为最小值点。
当 k₁ < s < k₂时，二三点之间的斜率变为 k₁^’ = k₁ + s，三四点之间的斜率变为 k₂^’ = k₂ + s。此时 k₂< 0 < k₁，点三的价值大于点二点四的价值，最小值在点二点四中产生。在图一的基础上，假设 b = 0 , s = 3时点变化如图二。

当 s >= k₂时，二三点之间的斜率变为 k₁^’ = k₁ + s，三四点之间的斜率变为 k₂^’ = k₂ + s。此时0 < k₂ < k₁，点二三四的价值依次上升，最小值为点二。在图一的基础上，假设 b = 0 , s = 5时点变化如图三。

由上述可知，在插入点后出现斜率如图一的情况时，插入点的前一个点对最小值的选择无影响，因此可以将其删除。即维护凸壳即可。
由于点可能较多，因此只记录必要的点的下标及价值。
当重新计算车厢价值时，防止价值更新后出现类似图三的趋势，需要倒序遍历，将后面的点的价值大于前一个点的价值的点删去，不再计算。（后面再更新价值时，价值大的点只会越来越大，与前一点的价值差距也会越来越大，每次加 s ）

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
struct node{ll val,ind;}num[300010];
int main()
{
    ll n;int m;
    scanf("%I64d%d",&n,&m);
    int be=0,en=0,add=0;
    ll len=n;
    ll b=0,c=0;
    num[en].ind=1;
    num[en].val=0;
    while(m--){
        int a;
        scanf("%d",&a);
        if(a==1){
            int b1;
            scanf("%d",&b1);
            len+=b1;
            en=0;
            num[0].ind=1;
            num[0].val=-(num[en].ind-1)*c-b;
            printf("1 0\n");
        }
        else if(a==2){
            int b1;
            scanf("%d",&b1);
            if(num[en].val+(num[en].ind-1)*c+b!=0){
                num[++en].ind=len+1;
                num[en].val=-(num[en].ind-1)*c-b;
            }
            len+=b1;
            if(num[be].val+b==0){
                printf("1 0\n");
            }
            else{
                printf("%d 0\n",num[en].ind);
            }
            while(en>=2&&((num[en].val+(num[en].ind-1)*c-num[en-1].val-(num[en-1].ind-1)*c)*1.0/(num[en].ind-num[en-1].ind)<=(num[en-1].val+(num[en-1].ind-1)*c-num[en-2].val-(num[en-2].ind-1)*c)*1.0/(num[en-1].ind-num[en-2].ind))){
                num[en-1].ind=num[en].ind;
                num[en-1].val=num[en].val;
                en--;
            }
        }
        else{
            ll b1,c1;
            scanf("%I64d%I64d",&b1,&c1);
            b+=b1;
            c+=c1;
            while(en>=1&&(num[en-1].val+(num[en-1].ind-1)*c-num[en].val-(num[en].ind-1)*c<=0)){
                en--;
            }
            //cout<<en<<endl;
            printf("%I64d %I64d\n",num[en].ind,num[en].val+(num[en].ind-1)*c+b);
        }
    }
    return 0;
}