Leetcode No.96

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解答：
本题确切的含义是：用 n 个节点可以构成多少个二叉搜索树（题目描述存在问题）。那么用卡塔兰数列（也称明安图数列）可以直接解决这个问题。

下面内容摘自wiki百科：

形式为：

递推式为： $C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i}\quad\mbox{for }n\ge 0.$

也满足 $C_0 = 1 \quad \mbox{and} \quad C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n,$

应用可以有以下四种情况：

C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

将上例的X换成左括号，Y换成右括号，C_n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

C_n表示有n个节点组成不同构二叉树的方案数。下图中，n等于3，圆形表示节点，月牙形表示什么都没有。

C_n表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数。下图中，n等于3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。

C_n表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：

C_n表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

C_n表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为n = 4的情况：

C_n表示n个无标号物品的半序的个数。

本题属于第四种应用。

需要指出：res需要用long型内存，否则res =res * 2*(2*i+1)/(i+2) 这一步可能会发生溢出（n = 19时）。当然也可以以用累加的递推式，就不会发生这个问题。

//96  卡塔兰数列
int numTrees(int n)
{
    if(n<2) return 1;
        long res=1;
        for(int i=1;i<n;i++)
            res =res * 2*(2*i+1)/(i+2);
        return (int)res;
}//96

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