GMM与EM算法的Python实现

高斯混合模型(GMM)是一种常用的聚类模型，通常我们利用最大期望算法(EM)对高斯混合模型中的参数进行估计。

1. 高斯混合模型(Gaussian Mixture models, GMM)

高斯混合模型（Gaussian Mixture Model，GMM）是一种软聚类模型。 GMM也可以看作是K-means的推广，因为GMM不仅是考虑到了数据分布的均值，也考虑到了协方差。和K-means一样，我们需要提前确定簇的个数。

GMM的基本假设为数据是由几个不同的高斯分布的随机变量组合而成。如下图，我们就是用三个二维高斯分布生成的数据集。

png

在高斯混合模型中，我们需要估计每一个高斯分布的均值与方差。从最大似然估计的角度来说，给定某个有 $n$

这里直接计算似然函数比较困难，于是我们引入隐变量(latent variable)，这里的隐变量就是每个样本属于每一簇的概率。假设 $W$

在已知 $W$

将其写成

其中 $P (X_{i} | μ_{j}, σ_{j})$

以一维高斯分布为例，

2. 最大期望算法(Expectation–Maximization, EM)

有了隐变量还不够，我们还需要一个算法来找到最佳的 $W$

简单说来，EM算法分两个步骤。

第一个步骤是E（期望），用来更新隐变量 $W$
第二个步骤是M（最大化），用来更新GMM中各高斯分布的参量 $μ_{j}$

然后重复进行以上两个步骤，直到达到迭代终止条件。

3. 具体步骤以及Python实现

完整代码在第4节。

首先，我们先引用一些我们需要用到的库和函数。

1 import numpy as np
2 import matplotlib.pyplot as plt
3 from matplotlib.patches import Ellipse
4 from scipy.stats import multivariate_normal
5 plt.style.use('seaborn')

接下来，我们生成2000条二维模拟数据，其中400个样本来自 $N (μ_{1}, {var}_{1})$

 1 # 第一簇的数据
 2 num1, mu1, var1 = 400, [0.5, 0.5], [1, 3]
 3 X1 = np.random.multivariate_normal(mu1, np.diag(var1), num1)
 4 # 第二簇的数据
 5 num2, mu2, var2 = 600, [5.5, 2.5], [2, 2]
 6 X2 = np.random.multivariate_normal(mu2, np.diag(var2), num2)
 7 # 第三簇的数据
 8 num3, mu3, var3 = 1000, [1, 7], [6, 2]
 9 X3 = np.random.multivariate_normal(mu3, np.diag(var3), num3)
10 # 合并在一起
11 X = np.vstack((X1, X2, X3))

数据如下图所示：

1 plt.figure(figsize=(10, 8))
2 plt.axis([-10, 15, -5, 15])
3 plt.scatter(X1[:, 0], X1[:, 1], s=5)
4 plt.scatter(X2[:, 0], X2[:, 1], s=5)
5 plt.scatter(X3[:, 0], X3[:, 1], s=5)
6 plt.show()

png

3.1 变量初始化

首先要对GMM模型参数以及隐变量进行初始化。通常可以用一些固定的值或者随机值。

n_clusters 是GMM模型中聚类的个数，和K-Means一样我们需要提前确定。这里通过观察可以看出是3。（拓展阅读：如何确定GMM中聚类的个数？）

n_points 是样本点的个数。

Mu 是每个高斯分布的均值。

Var 是每个高斯分布的方差，为了过程简便，我们这里假设协方差矩阵都是对角阵。

W 是上面提到的隐变量，也就是每个样本属于每一簇的概率，在初始时，我们可以认为每个样本属于某一簇的概率都是 $1 / 3$

Pi 是每一簇的比重，可以根据W求得，在初始时，Pi = [1/3, 1/3, 1/3]

1 n_clusters = 3
2 n_points = len(X)
3 Mu = [[0, -1], [6, 0], [0, 9]]
4 Var = [[1, 1], [1, 1], [1, 1]]
5 Pi = [1 / n_clusters] * 3
6 W = np.ones((n_points, n_clusters)) / n_clusters 
7 Pi = W.sum(axis=0) / W.sum()

3.2 E步骤

E步骤中，我们的主要目的是更新W。第 $i$

根据 $W$

 1 def update_W(X, Mu, Var, Pi):
 2     n_points, n_clusters = len(X), len(Pi)
 3     pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters)))
 4     for i in range(n_clusters):
 5         pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i]))
 6     W = pdfs / pdfs.sum(axis=1).reshape(-1, 1)
 7     return W
 8 
 9 
10 def update_Pi(W):
11     Pi = W.sum(axis=0) / W.sum()
12     return Pi

以下是计算对数似然函数的logLH以及用来可视化数据的plot_clusters。

 1 def logLH(X, Pi, Mu, Var):
 2     n_points, n_clusters = len(X), len(Pi)
 3     pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters)))
 4     for i in range(n_clusters):
 5         pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i]))
 6     return np.mean(np.log(pdfs.sum(axis=1)))
 7 
 8 
 9 def plot_clusters(X, Mu, Var, Mu_true=None, Var_true=None):
10     colors = ['b', 'g', 'r']
11     n_clusters = len(Mu)
12     plt.figure(figsize=(10, 8))
13     plt.axis([-10, 15, -5, 15])
14     plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], s=5)
15     ax = plt.gca()
16     for i in range(n_clusters):
17         plot_args = {'fc': 'None', 'lw': 2, 'edgecolor': colors[i], 'ls': ':'}
18         ellipse = Ellipse(Mu[i], 3 * Var[i][0], 3 * Var[i][1], **plot_args)
19         ax.add_patch(ellipse)
20     if (Mu_true is not None) & (Var_true is not None):
21         for i in range(n_clusters):
22             plot_args = {'fc': 'None', 'lw': 2, 'edgecolor': colors[i], 'alpha': 0.5}
23             ellipse = Ellipse(Mu_true[i], 3 * Var_true[i][0], 3 * Var_true[i][1], **plot_args)
24             ax.add_patch(ellipse)         
25     plt.show()

3.2 M步骤

M步骤中，我们需要根据上面一步得到的W来更新均值Mu和方差Var。 Mu和Var是以W的权重的样本X的均值和方差。

因为这里的数据是二维的，第 $m$

第 $m$

以上迭代公式写成如下函数update_Mu和update_Var。

 1 def update_Mu(X, W):
 2     n_clusters = W.shape[1]
 3     Mu = np.zeros((n_clusters, 2))
 4     for i in range(n_clusters):
 5         Mu[i] = np.average(X, axis=0, weights=W[:, i])
 6     return Mu
 7 
 8 def update_Var(X, Mu, W):
 9     n_clusters = W.shape[1]
10     Var = np.zeros((n_clusters, 2))
11     for i in range(n_clusters):
12         Var[i] = np.average((X - Mu[i]) ** 2, axis=0, weights=W[:, i])
13     return Var

3.3 迭代求解

下面我们进行迭代求解。

图中实现是真实的高斯分布，虚线是我们估计出的高斯分布。可以看出，经过5次迭代之后，两者几乎完全重合。

1 loglh = []
2 for i in range(5):
3     plot_clusters(X, Mu, Var, [mu1, mu2, mu3], [var1, var2, var3])
4     loglh.append(logLH(X, Pi, Mu, Var))
5     W = update_W(X, Mu, Var, Pi)
6     Pi = update_Pi(W)
7     Mu = update_Mu(X, W)
8     print('log-likehood:%.3f'%loglh[-1])
9     Var = update_Var(X, Mu, W)

png

1 log-likehood:-8.054

png

1 log-likehood:-4.731

png

1 log-likehood:-4.729

png

1 log-likehood:-4.728

png

1 log-likehood:-4.728

4. 完整代码

 1 import numpy as np
 2 import matplotlib.pyplot as plt
 3 from matplotlib.patches import Ellipse
 4 from scipy.stats import multivariate_normal
 5 plt.style.use('seaborn')
 6 
 7 # 生成数据
 8 def generate_X(true_Mu, true_Var):
 9     # 第一簇的数据
10     num1, mu1, var1 = 400, true_Mu[0], true_Var[0]
11     X1 = np.random.multivariate_normal(mu1, np.diag(var1), num1)
12     # 第二簇的数据
13     num2, mu2, var2 = 600, true_Mu[1], true_Var[1]
14     X2 = np.random.multivariate_normal(mu2, np.diag(var2), num2)
15     # 第三簇的数据
16     num3, mu3, var3 = 1000, true_Mu[2], true_Var[2]
17     X3 = np.random.multivariate_normal(mu3, np.diag(var3), num3)
18     # 合并在一起
19     X = np.vstack((X1, X2, X3))
20     # 显示数据
21     plt.figure(figsize=(10, 8))
22     plt.axis([-10, 15, -5, 15])
23     plt.scatter(X1[:, 0], X1[:, 1], s=5)
24     plt.scatter(X2[:, 0], X2[:, 1], s=5)
25     plt.scatter(X3[:, 0], X3[:, 1], s=5)
26     plt.show()
27     return X
28 
29 
30 # 更新W
31 def update_W(X, Mu, Var, Pi):
32     n_points, n_clusters = len(X), len(Pi)
33     pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters)))
34     for i in range(n_clusters):
35         pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i]))
36     W = pdfs / pdfs.sum(axis=1).reshape(-1, 1)
37     return W
38 
39 
40 # 更新pi
41 def update_Pi(W):
42     Pi = W.sum(axis=0) / W.sum()
43     return Pi
44 
45 
46 # 计算log似然函数
47 def logLH(X, Pi, Mu, Var):
48     n_points, n_clusters = len(X), len(Pi)
49     pdfs = np.zeros(((n_points, n_clusters)))
50     for i in range(n_clusters):
51         pdfs[:, i] = Pi[i] * multivariate_normal.pdf(X, Mu[i], np.diag(Var[i]))
52     return np.mean(np.log(pdfs.sum(axis=1)))
53 
54 
55 # 画出聚类图像
56 def plot_clusters(X, Mu, Var, Mu_true=None, Var_true=None):
57     colors = ['b','g','r']
58     n_clusters = len(Mu)
59     plt.figure(figsize=(10,8))
60     plt.axis([-10,15,-5,15])
61     plt.scatter(X[:,0], X[:,1], s=5)
62     ax = plt.gca()for i in range(n_clusters):
63         plot_args ={'fc':'None','lw':2,'edgecolor': colors[i],'ls':':'}
64         ellipse =Ellipse(Mu[i],3*Var[i][0],3*Var[i][1],**plot_args)
65         ax.add_patch(ellipse)if(Mu_trueisnotNone)&(Var_trueisnotNone):for i in range(n_clusters):
66             plot_args ={'fc':'None','lw':2,'edgecolor': colors[i],'alpha':0.5}
67             ellipse =Ellipse(Mu_true[i],3*Var_true[i][0],3*Var_true[i][1],**plot_args)
68             ax.add_patch(ellipse)         
69     plt.show()# 更新Mudef update_Mu(X, W):
70     n_clusters = W.shape[1]Mu= np.zeros((n_clusters,2))for i in range(n_clusters):Mu[i]= np.average(X, axis=0, weights=W[:, i])returnMu# 更新Vardef update_Var(X,Mu, W):
71     n_clusters = W.shape[1]Var= np.zeros((n_clusters,2))for i in range(n_clusters):Var[i]= np.average((X -Mu[i])**2, axis=0, weights=W[:, i])returnVarif __name__ =='__main__':# 生成数据
72     true_Mu =[[0.5,0.5],[5.5,2.5],[1,7]]
73     true_Var =[[1,3],[2,2],[6,2]]
74     X = generate_X(true_Mu, true_Var)# 初始化
75     n_clusters =3
76     n_points = len(X)Mu=[[0,-1],[6,0],[0,9]]Var=[[1,1],[1,1],[1,1]]Pi=[1/ n_clusters]*3
77     W = np.ones((n_points, n_clusters))/ n_clusters 
78     Pi= W.sum(axis=0)/ W.sum()# 迭代
79     loglh =[]for i in range(5):
80         plot_clusters(X,Mu,Var, true_Mu, true_Var)
81         loglh.append(logLH(X,Pi,Mu,Var))
82         W = update_W(X,Mu,Var,Pi)Pi= update_Pi(W)Mu= update_Mu(X, W)print('log-likehood:%.3f'%loglh[-1])Var= update_Var(X,Mu, W)

本教程基于Python 3.6。

原创者：u_u | 修改校对：SofaSofa TeamM | 转自： http://sofasofa.io/tutorials/gmm_em/

高斯混合模型GMM与EM算法的Python实现