数值分析(4)-多项式插值: 埃尔米塔插值法

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整理一下数值分析的笔记~
目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值(THIS)

3. 函数逼近

4. 数值积分与数值微分

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

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1. 埃尔米特插值多项式

定义：设 $f(x)$在节点 $a\leq x_0,x_1,...,x_n \leq b$处的函数值为 $y_0,y_1,...,y_n$，设 $P(x)为f(x)$在区间[a,b]上具有一阶导数的插值函数，

(1) 若要求 $P(x)$在区间[a,b]上具有一阶导数(一阶光滑度)，显然 $P(x)$在节点 $x_0,x_1,...,x_n$处必须满足：

$P(x_i)=f(x_i)=y_i,i=0,1,...,n\\ P'(x_i)=f'(x_i)=y'_i,i=0,1,...,n$

共2n+2个方程解出2n+2个待定的系数，因此P(x)可以是最高次数为2n+1次的多项式，两个节点就是三次多项式作为插值函数。

(2) 若要求P(x)在[a,b]上具有m阶导数(m阶光滑度)，显示P(x)在节点 $x_0,x_1,...,x_n$处必须满足：

$P(x_i)=f(x_i)=y_i\\ P'(x_i)=f'(x_i)=y'_i\\ P''(x_i)=f''(x_i)=y''_i,i=0,1,...n\\ ... P^{m}(x_i)=f^{m}(x_i)=y^{m}_i$

称满足(1)(2)的插值多项式为诶尔米特插值多项式，记为 $H_k(x)$，k为多项式次数。(k过大会影响收敛性和稳定性)

2. 重节点均差

设 $f \in C^n[a,b],x_0,x_1,...,x_n$为[a,b]上的相异节点，则 $f[x_0,x_1,...,x_n]$是其变量的连续函数，根据均差定义，若 $f\in C^1[a,b]$，则有：

$lim_{x \rarr x_0}f[x_0,x]=\\ lim_{x \rarr x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)$

由此定义一阶重节点均差：

$f[x_0,x_0]=lim_{x \rarr x_0} f[x_0,x]=f'(x_0)$

类似地可以定义重节点的n阶均差：

$f[x_0,x_0,...,x_0{(共n个)}]=\\ lim_{x_i \rarr x_0}f[x_0,x_1,...,x_n]=\\ \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)$

3. 两点三次Hermite插值

$x$	$x_0$	$x_1$
$f(x)$	$y_0$	$y_1$
$f'(x)$	$y_0'$	$y_1'$

两个节点最高可用三次Hermite多项式 $H_3(x)$作为插值函数，满足:

$H_3(x_i)=y_i,H'_3(x_i)=y'_i(i=0,1)$

直接设 $H_3(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，待定系数使计算复杂，不易推广到高次，可以引入四个基函数：

$\alpha_0(x),\alpha_1(x),\beta_0(x),\beta_1(x)$

使之满足：

$\alpha_0(x_0)=1,\alpha_1(x_0)=0,\beta_0(x_0)=0,\beta_1(x_0)=0\\ \alpha_0(x_1)=0,\alpha_1(x_1)=1,\beta_0(x_1)=0,\beta_1(x_1)=0\\ \alpha'_0(x_0)=0,\alpha'_1(x_0)=0,\beta'_0(x_0)=1,\beta'_1(x_0)=0\\ \alpha'_0(x_1)=0,\alpha'_1(x_1)=0,\beta'_0(x_1)=0,\beta'_1(x_1)=1$

又插值函数应满足：

$H_3(x_0)=y_0,H_3(x_1)=y_1\\ H_3'(x_0)=y_0',H_3'(x_1)=y_1'$

$H_3(x)$用四个插值基函数表示，假设：

$H_3(x)=y_0\alpha_0(x)+y_1\alpha_1(x)+y_0'\beta_0(x)+y_1'\beta_1(x)\\ H_3'(x)=y_0\alpha_0'(x)+y_1\alpha_1'(x)+y_0'\beta_0'(x)+y_1'\beta_1'(x)$

由上面的插值基函数的函数值和导函数值可知： $x_1$是 $\alpha_0(x)$的二重零点{ $x_1$处函数值导函数值均为0}，即可假设：

$\alpha_0(x)=(x-x_1)^2(ax+b)$

由 $\alpha_0(x_0)=1,\alpha_0'(x_0)=0$得：

$a=-\frac{2}{(x_0-x_1)^3},\\ b=\frac{1}{(x_0-x_1)^2}+\frac{2x_0}{(x_0-x_1)^3}$

使用类似方法可得：

$\alpha_0(x)=(1+2l_1(x))\cdot l^2_0(x)=\\ \left(1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2$

$\alpha_1(x)=(1+2l_0(x))\cdot l^2_1(x)=\\ \left(1+2\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2$

$\beta_0(x)=(x-x_0) \cdot l^2_0(x)=\\ (x-x_0)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2$

$\beta_1(x)=(x-x_1) \cdot l^2_1(x)=\\ (x-x_1)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2$

由此可得两点三次Hermite插值公式：

$H_3(x)=y_0\alpha_0(x)+y_1\alpha_1(x)+y_0'\beta_0(x)+y_1'\beta_1(x)\\y_0(1+2l_1(x))\cdot l^2_0(x)+y_1(1+2l_0(x))\cdot l^2_1(x)\\ +y_0'(x-x_0) \cdot l^2_0(x)+y_1'(x-x_1) \cdot l^2_1(x)\\ =y_0\left(1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2\\ +y_1\left(1+2\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2\\ +y_0'(x-x_0)\left(\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\right)^2\\ +y_1'(x-x_1)\left(\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\right)^2$

两点三次Hermite插值的余项:

$R_3(x)=\frac{f^{(4)}(\xi)}{4!}(x-x_0)^2(x-x_1)^2,\\x_0 \leq \xi \leq x_1$

eg.求作二次多项式使其满足：

$\varphi_2(0)=y_0,\varphi_2'(0),\varphi_1(1)=y_1$

解：

先求基函数 $\alpha_0(x),\alpha_1(x),\beta_0(x)$满足：

$\alpha_0(0)=1,\alpha_1(0)=0,\beta_0(0)=0\\ \alpha_0(1)=0,\alpha_1(1)=1,\beta_0(1)=0,\\ \alpha'_0(0)=0,\alpha'_1(0)=0,\beta'_0(0)=1$

可令：

$\alpha_0(x)=(a+bx)(x-1)\\ \alpha_1(x)=cx^2\\ \beta_0(x)=dx(x-1)$

可得a=b=-1,c=1,d=-1,则：

$\varphi_2(x)=y_0(1-x)^2+y_1x^2+y_0'x(1-x)$

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{持续更新}
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