01背包问题学习笔记

背包问题是DP动态规划算法中比较经典的一类模型,在NOIP考场上不定期地上位,令人琢磨不透,但是一旦学会了他,你就可以在短短十分钟的时间里,切掉他,达到节约时间,而且一次AC的目的.——某位大佬

01背包	完全背包	多重背包	分组背包	混合背包
对于物品而言只能选择1个或者0个两种情况	对于物品而言可以无限制选取,也可以不选	对于物品而言最多能够选择从s[i]个,同样也可不选	一些物品捆绑在一起,每一组物品中只能选择其中的一个物品	有些物品可以选择1,有些物品可以选择无数个,有些物品只能选择是s[i]个.即:01背包+完全背包+多重背包.
滚动数组	滚动数组	滚动数组	滚动数组	滚动数组
暂无	暂无	二进制优化或者单调队列优化	暂无	其中多重背包部分参考多重背包优化

以上就是本次的思维导图,即学习框架.
首先我们以01背包,所有背包的基础,开始进行本次的学习!

01背包

题目链接
有 \(N\) 件物品和一个容量是 \(V\) 的背包。每件物品只能使用一次。

第 \(i\) 件物品的体积是 \(v_i\)，价值是 \(w_i\)。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，\(N，V\)，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 \(N\) 行，每行两个整数 \(v_i, w_i\)，用空格隔开，分别表示第 \(i\) 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
\(0 \lt N, V \le 1000\)
\(0\lt v_i, w_i \le 1000\)

输入样例

输出样例：

朴素思路

首先这道题目很明显的思路就是,对于一个物品而言,我们只有两种选择.

可以选择将他放入背包
不选择他,不放入背包中.
那么一个朴素思路就是,我们可以使用二进制枚举,枚举每一个物品,我们到底是,选择这个物品,还是不选择这个物品.
时间复杂度\(O(2^N)\)

DP思想 \(O(n \times m)\)

对于上面所说的复杂度,我们显然是不满意的,那么既然如此的话,我们如何去优化他呢?我们会想到动态规划(DP),因为这道题目有几个特殊的地方:

我们选择第i件物品,对于后面的物品并没有任何影响,即无后效.
它的决策非常明显,也就是我们只有,选择这个物品 或者 不选择这个物品这两种方案.

综上所述,我们可以先考虑考虑DP算法.
那么现在我们就要开始动态规划算法的思考题目流程.

状态数组如何定义
阶段是什么
决策是什么
边界是什么
状态转移方程

状态数组的定义

状态数组的定义:往往就是题目要我们求解的最终答案,所以我们大致可以这么定义状态数组.
对于\(f[i][j]\),它表示为,在前i个物品选取若干个,已经花费的容量为j的最大利润.
举个例子,\(f[3][5]\)表示为在前三个物品中,我们选取0或者1或者2或者3个,然后已经花费了5点容量的最大利润.
~~如果觉得例子解释不好,可以不看,害怕误解~~

阶段

根据我们的状态数组,我们可以这么选择阶段,也就是\(1 \le i \le n\),就是以物品为阶段.

决策

决策很明显,就是选取或者不选选取

边界条件

f数组全部清空就好了,因为我们要求的是最大利润.

状态转移方程

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-v[i]]+w[i];

\(f[i-1][j]\)就是前i-1个物品,花费j个容量的最大利润,在这里我们可以理解为,不选取第i个物品(即选取前i-1个)的最大利润.
\(f[i][j-v[i]]+w[i]\)就是选取第i个物品,花费为j个容量的最大利润,那么为什么要这么写?
因为我们要放入这个物品,那么至少我们得需要\(v[i]\)个容量,所以我们只能从\(j-v[i]\)这个容量推过来,不然我们放不下这个背包.
\(+w[i]\)很明显就是选取了这个物品,当然要将这个物品的价值加上去.

滚动数组优化

第一步优化:
首先,对于状态数组而言,我们只利用了\(f[i][j]\)和\(f[i-1][j]\).如下面这个例子所示

当i为1的时候,我们利用的是\(f[0][j]\)和\(f[1][j]\)
当i为1的时候,我们利用的是\(f[1][j]\)和\(f[2][j]\)
当i为1的时候,我们利用的是\(f[2][j]\)和\(f[3][j]\)

所以其实我们只需要利用\(f[0][j]\)和\(f[1][j]\)就好了,0实际上表示i-1,1实际上表示i.
第二步优化:
实际上我们的j不一定要从\(v[i],1+v[i],2+v[i]...m\),而是可以从\(m,m-1.m-2...v[i]\)因为这样的话,我们就可以从\(f[2][n]\)到\(f[n]\)了.因为刚开始没有处理第二种决策的时候,\(f[1][j]\)肯定等于\(f[0][j]\),然后我们从m到\(v[i]\),开始从上到下开始决策,就可以忽略\(f[0]\)这一维了.
~~这里讲的不太好,建议还是自行模拟一遍吧=￣ω￣=~~

具体代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1100;
const int M=2e5;
int n,m,i,j,k,a[N],f[M];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>m>>n;//读入最大容量和物品个数
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>a[i]; 
    memset(f,0xcf,sizeof(f));//我这里是初始化为-INF,其实初始化为0就好了.
    f[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)//选取i个物品
        for(int j=m;j>=a[i];j--)//容量设定
            f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+a[i]);//转移
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)//f[n][i]表示选取n个物品,消耗容量为i的最有价值.
        ans=max(ans,f[i]);
    cout<<ans;//最优解
    return 0;
}