我还是第一次这么尴尬的写这种东西
首先%%%Koala学长！
一部分是对着PowerPoint写的～
大概简述一下学习成果～
1>卡特兰数
$Catalan$（这里用$h_i$来表示第$i$位的数）
首先是一个递推公式：
$h_n=h_0 \times h_{n-1}+h_1 \times h_{n-2} + \cdots + h_{n-1} \times h_0(n \geq 2)$
所以满足这个形式的就可以按卡特兰数处理咯
随后是通项公式：
$\begin{array}{lcl}h_n & = & C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}\\ & = & \frac{C_{2n}^n}{n+1}\end{array}$
应用：
1.求一个二叉树的形态方案数
2.求出入栈的顺序方案数
3.求有限制的方格行走方案
而且这些都可以转化成一个问题：把$1$和$-1$排列在数组中使前缀和大于$0$
1.可以把左儿子记为$1$右儿子记为$-1$，然后优先向左搜索。
2.可以把入栈记为$1$出栈记为$-1$
来个证明
首先设$k$为最后出栈的元素，
那么前面的元素必须在$k$压入之前弹出（不然$k$就不是最底层了）
后面的元素弹栈也必须弹出，才能把$k$弹出
这样就有式子：
$f_i=\sum\limits_{k=1}^{i}f_{k-1} \times f_{i-k}$
唔，我感觉和某个式子好像～～
对，就是递推公式！！！
3.这样的就是裸的：「链接」
只能向右向上，不能穿越蓝线
那，怎么算方案？
其实还是$Catalan$数。
一种是你把向右记为$+1$,向上记为$-1$这样就可以按公式求了
总共是$2n$个加和减，所以是$h_n$
加上翻折
首先就是划一条辅助线，这条线是非法路径必须要过的
是这条。
然后翻折非法路径接触红线后的部分
（顺带把网格也翻过去）
像这个，然后终点就被翻到了黄色矩形的右上角
于是答案就是
$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$
即：到终点的方案减到非法终点的方案
到终点走了$2n$步，其中向右占$n$步,就是$C_{2n}^n$
到非法重点走了$2n$步，其中向右占$n-1$步，是$C_{2n}^{n-1}$
然后还有一个提升版！
像这样
问题一样
翻折：
那么好说了
到终点：走$n+m$步，向右占$n$就是$C_{n+m}^n$
到非法终点：走$n+m$步，向右占$m-1$就是$C_{n+m}^{m-1}$
答案就是：
$C_{n+m}^n-C_{n+m}^{m-1}(n \geq m)$
这里用向上也一样，只是答案化为：
$C_{n+m}^m-C_{n+m}^{n+1}(n \geq m)$
这不是公式$C_n^m=C_n^{n-m}$么（笑）
2>prufer序列
等会～内容量太大，未完