HDU多校第三场 Hdu6606 Distribution of books 线段树优化DP

Hdu6606 Distribution of books

题意

把一段连续的数字分成k段，不能有空段且段和段之间不能有间隔，但是可以舍去一部分后缀数字，求\(min（max((\sum ai ))\)其中\(\sum ai\)为一段的数字和

分析

最小化最大值问题通常我们要想到二分，所以答案的求法我们就解决了，但是二分我们怎么check呢？这个时候一点思路都没有，我们考虑暴力的算法，设dp[i]表示从1--i最多可以分成多少段，怎么转移，什么情况下可以转移呢?
显然\(dp[i]=max(dp[j]+[sum[i]-sum[j]<=x])\)这样就能取到最多段了，但是这个转移的写法是\(O(n^2)\)的暴力算法，显然不满足题目的复杂度，这就到了这个题目的难点了，如何对dp进行优化，对dp进行优化的方式有多种，单调栈、平行四边形、线段树、主席树等。
关于dp优化：https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/77834685
这里因为取值满足不等式，而不等式所表示的值域就是天然的区间，区间问题肯定非线段树莫属。我们采用线段树优化，使用权值线段树的节点对应离散化后的sum值,从而维护dp的值，由不等\(sum[i]-sum[j]<=x\)我们转化为\(sum[i]-x<=sum[j]\)即只要找第一个满足该不等式的sum,然后在\([j,m]\)中找最大的dp值即可转移，复杂度就优化到了\(O(nlognlogn)=O(nlog^2n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define F first
#define S second
#define pii pair<int,int>
#define mkp make_pair
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=2e5+5;
int tr[maxn<<2];
int a[maxn];
ll sum[maxn],v[maxn];
int t,n,k,flag,cnt=0,sz;
void build(int o,int l,int r){
    tr[o]=-maxn;
    if(l==r)return ;
    int mid=l+r>>1;
    build(o<<1,l,mid);
    build(o<<1|1,mid+1,r);
}
void update(int o,int l,int r,int p,int v){
    if(l==r)tr[o]=max(tr[o],v);
    else {
        int mid=l+r>>1;
        if(mid>=p)update(o<<1,l,mid,p,v);
        else update(o<<1|1,mid+1,r,p,v);
        tr[o]=max(tr[o<<1],tr[o<<1|1]);
    }
}
int query(int o,int l,int r ,int x,int y){
    if(x<=l&&y>=r)return tr[o];
    int mid=l+r>>1;
    int ans=-maxn;
    if(mid>=x)ans=max(ans,query(o<<1,l,mid,x,y));
    if(mid<y)ans=max(ans,query(o<<1|1,mid+1,r,x,y));
    return ans;
}
bool  check(ll x){
    build(1,1,sz);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int l=lower_bound(v+1,v+1+sz,sum[i]-x)-v;
        int id=lower_bound(v+1,v+1+sz,sum[i])-v;
        //cout<<" i "<<i<<" l "<<l<<" id "<<id<<" sum-x "<<sum[i]-x<<endl;
        if(l>sz){
            if(sum[i]<=x)
            update(1,1,sz,id,1);
        }
        else {
            int t=query(1,1,sz,l,sz);
            //cout<<i<<" t "<<t<<endl;
            if(t==-maxn){
                if(sum[i]<=x)
                update(1,1,sz,id,1);
            }
            else 
            update(1,1,sz,id,t+1);
        }
    }
    //cout<<query(1,1,sz,1,sz)<<endl;
    return query(1,1,sz,1,sz)>=k;
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        cnt=1;
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            sum[i]=sum[i-1]+a[i];
            v[cnt++]=(sum[i]);
        }
        cnt--;
        sort(v+1,1+v+cnt);
        sz=unique(v+1,v+1+cnt)-v-1;
    //  for(int i=1;i<=sz;i++)cout<<v[i]<<" ";
    //  cout<<endl;
        //cout<<sz<<endl;
        ll l=-1e14;
        ll r=-l;
        ll ans=1e15;
        while(l<=r){
            ll mid=l+r>>1;
            //cout<<l<<" "<<r<<endl;
            if(check(mid)){
                ans=min(ans,mid);
                r=mid-1;
            }
            else l=mid+1;
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}