设 $P$ 是 $1$ 到 $n$ 的一个排列（也称【置换】）。对于整数 $ 1\le i \le n$，若 $i$ 满足 $\forall 1\le j\le i, \quad P_j \le i$，则称 $i$ 是排列 $P$ 的一个前缀。显然 $n$ 是 $P$ 的前缀。
求 $1$ 到 $n$ 的所有排列中，满足最小前缀为 $n$ 的排列的个数，记作 $A_n$ 。
数列 $A_n$ 的前若干项为 $1, 1, 3, \dots $，试求 $A_n$ 的通项公式。
分析
考虑所有不合法的排列。通过枚举 $1$ 在不合法的排列中的位置，可以得到 $A_n$ 的一个表达式如下
$$ A_n = n! - \sum_{1\le k < n} (k-1)! (n-k)! $$