3D数学基础 旋转 四元数与矩阵

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1.旋转：用矩阵表示

1.1 2D旋转

1.1.1 x=1，y=0

$\overrightarrow{p}(1,0)$旋转θ度后，得到 $\overrightarrow{p}'(cosθ，sinθ)$

1.1.2 x=0，y=0

$\overrightarrow{p}(0,1)$旋转θ度后，得到 $\overrightarrow{p}'(-sinθ，cosθ)$

1.1.3 x=1，y=1

$\overrightarrow{p}(1,1)$旋转θ度后，得到 $\overrightarrow{p}'(cosθ-sinθ，sinθ+cosθ)$

1.1.4 x，y为任意数

$\overrightarrow{p}(x,y)$旋转θ度后，得到 $\overrightarrow{p}'(x*cosθ-y*sinθ，x*sinθ+y*cosθ)$
用矩阵表示为：
$\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta \\ -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

1.2 3D旋转

1.2.1 绕x轴旋转

$R_x(\theta)=\begin{bmatrix} p'\\ q'\\ r' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1&0 &0 \\ 0 & cos(\theta)&sin(\theta)\\ 0& -sin(\theta)& cos(\theta) \end{bmatrix}$

1.2.2 绕y轴旋转

$R_x(\theta)=\begin{bmatrix} p'\\ q'\\ r' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos(\theta)&0 &-sin(\theta) \\ 0 & 1&0\\ sin(\theta)& 0& cos(\theta) \end{bmatrix}$

1.2.3 绕z轴旋转

$R_x(\theta)=\begin{bmatrix} p'\\ q'\\ r' \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} cos(\theta)&sin(\theta) &0 \\ -sin(\theta) & cos(\theta)&0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

2.旋转：用四元数表示

2.1 2D旋转（复数）

（1）复数的定义：

复数（a，b）定义了数a+bi，i为虚数满足 $i^2=-1$。a为实部，b为虚部

（2）用复数表示旋转
$p(x,y)$旋转θ度后，即产生一个复数 $(cos\theta,sin\theta)$，使之相乘得到旋转后的向量 $p'=(x+yi)*(cos\theta+isin\theta)$
$=(x*cosθ-y*sinθ)+(x*sinθ+y*cosθ)i$
得到的结果与矩阵旋转得到的结果是相同的
$p'(x*cosθ-y*sinθ，x*sinθ+y*cosθ)$

2.2 3D旋转（四元数）

（1）四元数的定义：
$i^2=j^2=k^2=-1$
$ij=k,ji=-k$
$jk=i,kj=-i$
$ki=j,ik=-j$
一个四元数 $[w,(x,y,z)]$定义了复数 $w+xi+xj+zk$

（2）四元数表示旋转
四元数表示的核心在于轴-角对：
$（n，\theta）$
n为旋转轴，θ为绕轴旋转的量
四元数的表示则为
$q=[cos(\theta/2),sin(\theta/2)n]$
$=[cos(\theta/2),(sin(\theta/2)n_x,sin(\theta/2)n_y,sin(\theta/2)n_z)]$

设a为位置向量，b表示绕x轴旋转90度，c表示绕y轴旋转90度
若要先旋转b再旋转c，则四元数相乘需要反着来，即cba（基于四元数遵从结合律，不遵从交换律的原则可以推导出（c（ba）），即先被b处理，再被c处理）

参考：
【1】3D数学基础：图形与游戏开发