2020届校级月考【1】

例1 【2020届凤翔中学高三理科月考一第12题】已知\(f'(x)\)是\(f(x)\)的导函数，且对任意的实数\(x\)都满足\(f'(x)=\)\(e^x(2x+3)\)\(+f(x)\)，\(f(0)=1\)，则不等式\(f(x)<5e^x\)的解集为【】

$A.(-4，1)$ $B.(-1，4)$ $C.(-\infty，-4)\cup (1，+\infty)$ $D.(-\infty，-1)\cup (4，+\infty)$

分析：将已知等式\(f'(x)=\)\(e^x(2x+3)\)\(+f(x)\)变形为\(\cfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}=2x+3\)，

令\(g(x)=\cfrac{f(x)}{e^x}\)，则\(g'(x)=\cfrac{f'(x)-f(x)}{e^x}\)，则\(g'(x)=2x+3\)，

则\(g(x)=x^2+3x+C\)，又由于\(f(0)=1\)，则\(g(0)=\cfrac{f(0)}{e^0}=1\)，则可知\(C=1\)，

故\(g(x)=x^2+3x+1\)，而不等式\(f(x)<5e^x\)即\(g(x)<5\)，故\(x^2+3x+1<5\)，

得到\(x^2+3x-4<0\)，解得\(-4<x<1\)，故选\(A\).