Description
把 \(k\) 个数填进 \(n\times n\) 的网格中，要求每行每列的最小值均为 \(1\) ，求合法方案数对 \(10^9+7\) 取模的结果
\(1\le n\le 250,1\le k\le 10^9\)
Solution
看着标签是 \(\text{combinatorics}\) 和 \(\text{dp}\) 就看了看题目......
考虑从左向右 \(\text{dp}\) ，每列至少有一个 \(1\) ，同时考虑行的情况。对于某一列如果填完了 \(1\) ，那剩下的位置直接随便填非 \(1\) 的数就行了，设 \(dp_{i,j}\) 表示到了第 \(i\) 列，还有 \(j\) 行没有填 \(1\) 的方案数，方程就是
\[ dp_{i,j}=dp_{i-1,j}(k-1)^j(k^{n-j}-(k-1)^{n-j})+\sum\limits_{p=1}^{n-j}\dbinom{j+p}{p}dp_{i-1,j+p}k^{n-j-p}(k-1)^j \]
其中 \(k^{n-j}-(k-1)^{n-j}\) 是为了保证这一列至少有一个 \(1\)
复杂度 \(O(n^3)\)
代码如下：
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=3e2+10;
const int mod=1e9+7;
int n,k,dp[N][N],c[N][N],bin[N],bin2[N];
inline void Add(int &x,int y){x+=y;x-=x>=mod? mod:0;}
inline int Minus(int x){x+=x<0? mod:0;return x;}
inline int MOD(int x){x-=x>=mod? mod:0;return x;}
inline void Preprocess(){
for(register int i=0;i<=n;i++){
c[i][0]=1;
for(register int j=1;j<=i;j++)
c[i][j]=MOD(c[i-1][j]+c[i-1][j-1]);
}
bin[0]=1;for(register int i=1;i<=n;i++)bin[i]=1ll*bin[i-1]*k%mod;
bin2[0]=1;for(register int i=1;i<=n;i++)bin2[i]=1ll*bin2[i-1]*(k-1)%mod;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&k);Preprocess();dp[0][n]=1;
for(register int i=1;i<=n;i++)
for(register int j=0;j<=n;j++){
Add(dp[i][j],1ll*dp[i-1][j]*bin2[j]%mod*(Minus(bin[n-j]-bin2[n-j]))%mod);
for(register int p=1;p<=n-j;p++)
Add(dp[i][j],1ll*c[j+p][p]*dp[i-1][j+p]%mod*bin[n-j-p]%mod*bin2[j]%mod);
}
printf("%d\n",dp[n][0]);
return 0;
}