同余1：欧几里得算法及其拓展学习笔记

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前言：搞定了类欧几里得后，我决定把欧几里得算法给复习一下，顺带复习整个同余相关问题（ 这是逆生长吗？（手动滑稽） ）

欧几里得算法

欧几里得算法没什么可说的，就是求最大公约数，不过有多种方式，这里不再讨论暴力的求法了。
辗转相除法
接下来，直接就到辗转相除法了，辗转相除法用到下面的结论，当其中一个数辗转到零时另一个数就是答案。
结论： $GCD(X,Y) =GCD(Y,X \% Y)$；
证明：设对任意两个不为一的正整数 $x$和 $y$有最大公因数为 $d$，则 $x$可表示为 $t_1*d$， $y$可表示为 $t_2 * d$，根据最大公因数的定义可知， $t_1$和 $t_2$互质。这里，不妨设 $x > y$，则 $t_1 > t_2$，根据基本常识 $a \% b = a - b * \lfloor {a \over b} \rfloor$，因此 $X \% Y$可表示成 $t_1 * d - t_2 * d * \lfloor {t_1 * d \over t_2 * d} \rfloor$，约去 $d$，得 $t_1 * d - t_2 * d * \lfloor {t_1\over t_2 } \rfloor = （t_1 - t_2 * \lfloor {t_1 \over t_2} \rfloor）*d$，不难看出括号内的数为整数，则上述结论成立。
通过这个方法，不难看出 $GCD(X,Y) =GCD(Y,X - Y)$也成立。

inline int gcd( int x , int y ) {
	return y == 0 ? x : gcd( y , x % y );/*上述讨论建立在x > y的基础上，实际上
	这里若x < y，gcd会自动帮我们交换两个数*/
} 

时间复杂度为 $O(log(X))$

二进制算法
我以为这样就最优了，实际上我还看到一种“二进制算法”，是在《信息学竞赛之数学一本通》（东南大学出版社）里面看到的，这里也稍微提一下，具体思想就是通过不断去掉因子2来降低常数。过程如下：
1.若 $x$， $y$均为偶数，则 $GCD(x,y) =2*GCD（x，y）$；
2.若 $x$， $y$均为奇数，则 $GCD(x,y) =GCD（x - y，y）$；
3.若 $x$， $y$一奇一偶，不妨设 $x$为偶数(否则将两数置换),则 $GCD(x,y) =GCD（{ x \over 2}，y）$；
4.当其中一个数为零时返回另一个数。
这个做法的正确性显然，不难得出以下代码：

inline int gcd( int x , int y ) {
	if ( !y ) {
		return x;
	}
	if ( x < y ) {
		x ^= y ^= x ^= y;//整数的快速交换 
	}
	if ( x & 1 && y & 1 ) {
		return gcd( y , x - y );
	} else if ( x & 1 ) {
		return gcd( x , y / 2 );
	} else if ( y & 1 ) {
		return gcd( x / 2 , y );
	} else {
		return 2 * gcd( x / 2 , y / 2 );
	}
}

最小公倍数LCM可利用GCD求出，就是 $LCM(a,b)={ a * b \over GCD(a,b)}$，证明自己想吧。
在数据非常大以致不得不用高精度的时候，二进制算法的优越性更加明显。

拓展欧几里得算法

拓展欧几里得算法
拓展欧几里得算法可用来求解以下问题，对于已知数(a,b),找出另一组数（p,q），使得满足 $a*p+b*q=GCD(a,b)$，没错，这就是裴蜀定理的内容，我们的目标是证明存在性，如果存在就找到一个合适的算法。
接下来，让我们利用 $GCD(X,Y) =GCD(Y,X \% Y)$搞些事情：
已知 $a*p+b*q=GCD(a,b)$，通过 $GCD(a,b) =GCD(b,a \% b)$，
得出 $b*p'+a \% b * q' = a*p+b*q$
推出 $b*p'+(a - b * \lfloor {a \over b} \rfloor) * q' =a*p+b*q$
最终得出： $a *q'+b*(p' - q'*\lfloor {a \over b} \rfloor) = a*p+b*q$
这样就将p,q的变化与a,b的变化挂钩了。
当b = 0时，GCD为a，不难看出p= 1,q = 0，再将（p,q）回溯，经过层层递归回去，即可得到原先（p,q）的值，至此存在性的证明与算法都出来了。

inline int exgcd( int a, int b , int & x , int & y ) {//返回x,y的值即为(p,q) 
	if ( !b ) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	int ans = exgcd( b , a % b , x , y );
	int tem = x;
	x = y;
	y = tem - a / b * y;
	return ans;
}

拓展欧几里得算法的应用（解线性同余方程）

拓展欧几里得算法主要用来线性同余方程。
对于方程 $a*x+b*y=c$, 该方程等价于 $a * x\equiv c\pmod b$，而该方程有整数解的充要条件为 $c \% GCD(a,b)=0$。
对于求解方程，我们先求出 $(x_o,y_o)$满足 $a*x_o+b*y_o=GCD(a,b)$，则方程解可表示为 $a*x_o * {c \over GCD(a,b)}+b*y_o* {c \over GCD(a,b)}=GCD(a,b)* {c \over GCD(a,b)}$，这同时也说明了上述充要条件的合理性。
不过，这样求出的只是一组特解，解的一般形式为 $x = x_o * {c \over GCD(a,b)} +t*{b \over GCD(a,b)}$ $y = y_o * {c \over GCD(a,b)} -t*{a \over GCD(a,b)}$
其中 $t$为任意正整数。
不过，在做题时，我们一般要求最小正整数解，求法为：
设 $z = {b \over GCD(a,b)}$， $x = (x \% z + z) \% z$，y同理。
当 $a$与 $b$互质， $c = 1$时，求出的 $x$即为 $a$模 $b$意义下的逆元（不懂逆元的可以假装没看到 ）。
好了，总体上来说欧几里得算法就没什么了(线性逆元以后讲吧 )，最重要的还是它的应用。这个算法我以前也早已掌握，但在做题时总是依赖题解，证明自己其实并不熟悉它的原理，所谓数论，不是拿来出题的，而是用来快速算出某一步式子的解的，还是要有灵活的思维啊。所以，想要牢固掌握一个知识点，还得多刷题。
板子
同余方程（太裸了 ）https://www.luogu.org/problem/P1082
我都不想讲了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll exgcd( ll a , ll b , ll &x , ll & y ) {
	if (b == 0) {
		x = 1;
		y = 0;
		return a;
	}
	ll d = exgcd( b , a % b , x , y );
	ll t = x;
	x = y;
	y = t - ( a / b ) * y;
	return d;
}
int main () {
	ll a , b , c , x , y;
	cin >> a >> b;
	c = 1;//其实是多余的 
	ll d = exgcd( a , b , x , y );
	x = x * ( c / d );
	y = y * ( c / d );
	ll z = b / d;
	ll k = x;
	k = ( x % z + z ) % z;
	printf("%lld\n",k);
	return 0;
}