寻找两个有序数组的中位数
题目描述：给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
解题思路：这一题给定了时间复杂度为O(log(n+m))，所以应该想到使用二分法，不过想了好久还是没有想到怎么使用二分，对谁二分，二分的依据是什么。在借鉴了别人的想法之后，豁然顿开，十分巧妙。首先了解中位数的定义，如果是奇数，就是第（n+1）/2个数，反之就是最中间的两个数相加除以2。假设两个有序数组的长度分别为m和n，由于两个数组长度之和 m+n 的奇偶不确定，因此需要分情况来讨论，对于奇数的情况，直接找到最中间的数即可，偶数的话需要求最中间两个数的平均值。为了简化代码，不分情况讨论，我们使用一个小trick，我们分别找第 (m+n+1) / 2 个，和 (m+n+2) / 2 个，然后求其平均值即可，这对奇偶数均适用。加入 m+n 为奇数的话，那么其实 (m+n+1) / 2 和 (m+n+2) / 2 的值相等，相当于两个相同的数字相加再除以2，还是其本身。
这里我们需要定义一个函数来在两个有序数组中找到第K个元素，下面重点来看如何实现找到第K个元素。首先，为了避免产生新的数组从而增加时间复杂度，我们使用两个变量i和j分别来标记数组nums1和nums2的起始位置。然后来处理一些corner cases，比如当某一个数组的起始位置大于等于其数组长度时，说明其所有数字均已经被淘汰了，相当于一个空数组了，那么实际上就变成了在另一个数组中找数字，直接就可以找出来了。还有就是如果K=1的话，那么我们只要比较nums1和nums2的起始位置i和j上的数字就可以了。难点就在于一般的情况怎么处理？因为我们需要在两个有序数组中找到第K个元素，为了加快搜索的速度，我们要使用二分法，那么对谁二分呢，数组么？其实要对K二分，意思是我们需要分别在nums1和nums2中查找第K/2个元素，注意这里由于两个数组的长度不定，所以有可能某个数组没有第K/2个数字，所以我们需要先check一下，数组中到底存不存在第K/2个数字，如果存在就取出来，否则就赋值上一个整型最大值。如果某个数组没有第K/2个数字，那么我们就淘汰另一个数字的前K/2个数字即可。有没有可能两个数组都不存在第K/2个数字呢，这道题里是不可能的，因为我们的K不是任意给的，而是给的m+n的中间值，所以必定至少会有一个数组是存在第K/2个数字的。最后就是二分法的核心啦，比较这两个数组的第K/2小的数字midVal1和midVal2的大小，如果第一个数组的第K/2个数字小的话，那么说明我们要找的数字肯定不在nums1中的前K/2个数字，所以我们可以将其淘汰，将nums1的起始位置向后移动K/2个，并且此时的K也自减去K/2，调用递归。反之，我们淘汰nums2中的前K/2个数字，并将nums2的起始位置向后移动K/2个，并且此时的K也自减去K/2，调用递归即可，参见代码如下：
int min(int a,int b){
return a>b?b:a;
}
double findKth(int *a,int lena,int *b,int lenb,int k)
{
int vala,valb;
//如果其中有一个数组为空，则直接从另外一个数组中找第K小的数（也就是中位数）
if(lena<=0) return b[k-1];
if(lenb<=0) return a[k-1];
//k为1，表示只要找一个数就可以了
if(k==1) return min(a[0],b[0]);
vala=(k/2>lena)?__INT_MAX__:a[k/2-1];
valb=(k/2>lenb)?__INT_MAX__:b[k/2-1];
//a数组的前k/2个数都不可能是第K小的数，删掉
if(vala<valb){
return findKth(a+k/2,lena-k/2,b,lenb,k-k/2);
}
else{
return findKth(b+k/2,lenb-k/2,a,lena,k-k/2);
}
}
double findMedianSortedArrays(int* nums1, int nums1Size, int* nums2, int nums2Size){
int left,right;
left=(nums1Size+nums2Size+1)/2;
right=(nums1Size+nums2Size+2)/2;
return (findKth(nums1,nums1Size,nums2,nums2Size,left)+findKth(nums1,nums1Size,nums2,nums2Size,right))/2.0;
}