【Theory】前缀和及其应用

本文链接： https://blog.csdn.net/meiqi0538/article/details/100101138

1 什么是前缀和

假设我们有一个数组 $x=[x_0, x_1, \cdots,x_n]$ ，那么对应的前缀和数组y满足下式：
$y_j=\sum_{i=0}^jx_i$
例如 $x=[0,1,2,3,4,5,6]$ ,那么前缀和数组就是： $y=[0,1,3,6,10,15,21]$ 。
程序实现：

def oneDimen(src):
	result = [0]
	for i in range(len(src)):
		result.append(src[i] + result[-1])
	result.pop(0)
	return result

if __name__ == '__main__':
	tmp = [i for i in range(1, 7)]
	print(oneDimen(tmp))

2 二维前缀和

前面通过是一维数组介绍了什么是前缀和数组，那么二维的前缀和数组又是什么样的呢？其实也就是一句话的事：前缀和数组中每一个位置的数字都表示当前index左上方数字的和，如下图所示：
二维前缀和
原理很简单，但是如何快速计算出来前缀和也是一个问题，当然你也会想到我每一次计算都遍历一下二维数组不就行了？当然，这个是没问题的，但是每次都会有大量的重复计算，如果我们充分利用上几个计算的前缀和项，那么就会大大降低计算步骤，降低计算时间。在实际计算中有3种情况，在进行介绍之前我们需要假设一些内容：行数、列数用j，i表示并且都是从0开始，原数组、前缀和数组用src、prefixSum表示，则有：

i==0 并且 j==0,也就是起始计算的前缀和，直接赋值即可：prefixSum[0,0]=src[0,0]
第0行、第0列，也就是上图中最上面一行和最左边一列，这个时候，我们可以借鉴一维前缀和的计算方式计算有分别为：prefixSum[0,j]=prefixSum[0,j-1]+src[0,j],prefixSum[i,0]=prefixSum[i-1,0]+src[i,0]
其他情况，i!=0 或者 j!=0,观察由下图所示，prefixSum[i][j] = prefixSum[i - 1][j] + prefixSum[i][j - 1] + src[i][j] - prefixSum[i - 1][j - 1];（注：别忘了减去重合的部分），下图的第二个图，你会发现prefixSum[2,2] = prefixSum[1, 2] + prefixSum[2, 1]=33+21=54，这里纯属巧合，仔细想一下也不难发现。

代码实现

def twoDimen(src):
	result = np.zeros_like(src)
	row, col = src.shape
	for i in range(row):
		for j in range(col):
			if i== 0 and j == 0:
				result[0][0] = src[0][0]
			elif i == 0:
				result[i][j] = result[i][j - 1] + src[i][j]
			elif j == 0:
				result[i][j] = result[i - 1][j] + src[i][j]
			else:
				result[i][j] = result[i - 1][j] + result[i][j - 1] + src[i][j]  - result[i - 1][j - 1]

	return result

if __name__ == '__main__':
	tmp = np.arange(0,25).reshape(-1, 5)
	print(twoDimen(tmp))

3 前缀和的应用

我们看一道题目：

输入n个数的数列，所有相邻m数的和有n-m+1个，求其中的最小值。
比如：
数组为：[10, 4, 1, 5, 5, 2]
m为：3
结果为：10

解题思路：题目给出一个有6个元素的数列，那么相邻3个数字的和的数列就有4个，当然这也有其他的解题方式，例如窗口法。这里我们可以使用前缀和的方式进行解答，根据这个数列，我们可以得到一个前缀和的数组，我们直接可以从第m个前缀值开始遍历比较，到下一个的时候前缀值时，我们减去第一个值再进行比较，依次类推即可。
程序实现：

def example(src, m):
	prefixSum = oneDimen(src)
	result = prefixSum[m - 1]  # 初始化最小值为第一个值
	for i in range(m, len(src)):
		cur = prefixSum[i] - prefixSum[i - m] 
		result = result if result < cur else cur
	return result
if __name__ == '__main__':
	tmp = [10, 4, 1, 5, 5, 2]
	print(example(tmp, 3))

4 本文全部代码如下：

import numpy as np
def oneDimen(src):
	result = [0]
	for i in range(len(src)):
		result.append(src[i] + result[-1])
	result.pop(0)
	return result

def twoDimen(src):
	result = np.zeros_like(src)
	row, col = src.shape
	for i in range(row):
		for j in range(col):
			if i== 0 and j == 0:
				result[0][0] = src[0][0]
			elif i == 0:
				result[i][j] = result[i][j - 1] + src[i][j]
			elif j == 0:
				result[i][j] = result[i - 1][j] + src[i][j]
			else:
				result[i][j] = result[i - 1][j] + result[i][j - 1] + src[i][j]  - result[i - 1][j - 1]

	return result
def example(src, m):
	prefixSum = oneDimen(src)
	result = prefixSum[m - 1]  # 初始化最小值为第一个值
	for i in range(m, len(src)):
		cur = prefixSum[i] - prefixSum[i - m] 
		result = result if result < cur else cur
	return result


if __name__ == '__main__':
	# tmp = [i for i in range(1, 7)]
	# print(oneDimen(tmp))
	# tmp = np.arange(0,25).reshape(-1, 5)
	# print(twoDimen(tmp))
	tmp = [10, 4, 1, 5, 5, 2]
	print(example(tmp, 3))

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前缀和

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