【算法设计与分析】12 主定理及其应用

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主定理是一个非常有用的定理，前面我们学习的所有知识都可以用主定理来求解，而不必要使用复杂的计算方法来求解

1. 主定理

1.1 主定理的应用背景

求解递推方程：

T(n) = a T(n/b) + f(n)

其中：

• a: 归约后的子问题个数
• n/b:归约后子问题的规模
• f(n):归约过程及组合子问题的解的工作量

例如前面的文章我们曾求解过:

• 二分检索: T(n) = T(n/2)+1
• 二分归并排序: T(n) =2T(n/2)+n-1

现在想要求解这些式子，不再像以前那样采用各种技巧进行求解，可以直接通过主定理进行求解：

1.2 主定理内容

定理:设a >= 1, b>1为常数, f(n)为函数, T(n) 为非负整数，且T(n)=aT(n/b)+f(n)， 则:

主定理的证明过程略

2. 主定理的应用

2.1 求解递推方程 例1

T(n) = 9T(n/3) + n

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上述递推方程中：

a = 9， b = 3，f (n) = n，所以：

相当于主定理的case1，其中 $\xi$ =1.
根据定理得到 T(n) = $\Theta$ (n²)

2.2 求解递推方程 例2

T(n) = T(2n/3) + 1

上述递推方程中的

a = 1, b = 3/2, f(n) = 1，

$n^{log_{3/2}1} = n_0 = 1$

相当于主定理的Case2 .

根据定理得到T(n) = $\Theta$( log n)

2.3 求解递推方程 例3

求解递推方程

T(n) = 3T(n/4) + nlogn

上述递推方程中的

a=3, b=4, f(n)=nlogn

所以：
取 = 0.2 即可.

$\xi$ =0.2即可

条件验证：

3. 总结

对于之前的二分搜索则对应主定理的case2，二分归并排序则也对应主定理的case2，可以直接利用主定理求解。

但是也有很多时候不能使用主定理，如果不能使用，就使用递归树或者迭代法等方法求解。