裴蜀定理&&扩展欧几里得算法

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裴蜀定理

也就是Bezout定理，对于任意整数a,b，存在一对整数x,y，满足 $ax+by=gcd(a,b)$。
在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。
裴蜀定理说明了对任何整数 a、b和它们的最大公约数 d ，关于未知数 x 和 y 的线性丢番图方程（称为裴蜀等式）。

证明：

• 若b=0时，此时迭代到算法的最后一步，显然存在一对整数， $x=1,y=0$，使得 $a*1+0*0 = gcd(a,0)$
• 若b>0时，则 $gcd(a,b) = gcd(b,a\,mod\,b)$，假设存在一对整数 $x_1,y_1$，满足 $b*x_1+(a\,mod\,b)*y_1 = gcd(b,a\,mod\,b)$，因为 $b*x_1+(a\,mod\,b)*y_1 = b*x_1+(a-a/b*b)y_1 = a*y_1 +b*(x_1-(a/b)*y_1)$
• 证毕

裴蜀定理是按照欧几里得算法的思路被证明的，并且同时给出了整数x和y的计算方法。这种计算方法被称为扩展欧几里得算法。

联立一下
$\begin{cases} gcd=a*x+b*y \\ gcd = a*y_1 + b*(x_1-(a/b)*y_1) \end{cases}$

可以得出
$\begin{cases} x=y_1 \\ y = x_1-(a/b)*y_1 \end{cases}$

实现

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(b==0){
		x = 1,b = 0;
		return a;
	}
	int ans = exgcd(b,a%b,x,y);
	int z = y;
	y = x - (a/b)*z,x = z;
	return ans;
}

说明

上述程序求出的是一组特解 $x_0,y_0$，并返回a,b的最大公约数d。

未完，待续…