The XOR-longest Path

https://loj.ac/problem/10056

题目描述

  给出一棵\(n\)个节点的带权树，求树上最长异或路径。

思路

  这道题其实思路和Nikitosh和异或差不多，都是利用异或的性质转化，再用字典树维护。首先我们知道树上两点必定有且只有一条简单路径，并且他们的关系有两种情况：\(①\)他们具有祖孙关系，对于这种情况，我们记\(f[i]\)表示根节点到\(i\)的异或路径，那么\(f[i]\bigoplus f[j]\)即为\(i、j\)的异或路径；\(②\)他们不具有祖孙关系，那么我们假如已知他们的\(LCA\)，根据第一种情况，所以异或路径值为\((f[i]\bigoplus f[lca])\bigoplus(f[lca]\bigoplus [j])\)，而异或操作满足交换律和结合律，因此即为\(f[i]\bigoplus f[j]\)。我们已经得出了树上两点间的异或路径的求法。只有处理出\(f\)数组，题目就相当于从\(f\)数组中选出两个数使它们的异或值最大，用字典树即可。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+10;
int ch[1010005][3],f[MAXN];
int nxt[MAXN<<1],head[MAXN],to[MAXN<<1],w[MAXN],tot;
void add_edge(int x,int y,int z)
{
    nxt[++tot]=head[x];
    head[x]=tot;
    to[tot]=y;
    w[tot]=z;
}
void dfs(int u,int fa)
{
    for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
    {
        int v=to[i];
        if(v==fa)continue ;
        f[v]=f[u]^w[i];
//        cout<<v<<' '<<f[v]<<endl;
        dfs(v,u);
    }
}
void insert(int x)
{
    int u=1;
    for(int i=1<<30;i;i>>=1)
    {
        int num=(x&i)?1:0;
        if(!ch[u][num])ch[u][num]=++tot;
        u=ch[u][num];
    }
}
int find(int x)
{
    int u=1,ans=0;
    for(int i=1<<30;i;i>>=1)
    {
        int num=(x&i)?0:1;
        if(ch[u][num])
        {
            u=ch[u][num];
            ans+=i;
        }
        else u=ch[u][!num];
    }
    return ans;
}
int main() 
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int u,v,w;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add_edge(u,v,w);
        add_edge(v,u,w);
    }
    dfs(1,0);
    tot=1;
//    for(int i=1;i<=n;i++)
//        printf("%d ",f[i]);
//    printf("\n");
    for(int i=1;i<=n;i++)
        insert(f[i]);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,find(f[i]));
    printf("%d",ans);
    return 0;
}