浅谈同余方程的求解与中国剩余定理
本篇随笔简单讲解一下信息学奥林匹克竞赛中数论部分的内容——同余方程的求解。顺便讲一下中国剩余定理。
同余方程的概念
关于同余和同余式的基本概念，如果还是了解的不清楚的话，请翻看本蒟蒻的这篇博客，讲解的非常详细：
那么，同余方程就是同余式里加了一个需要我们求解的未知数。
比如，一种同余方程（就是我们首先要讲的一次同余方程）长成这个样子：
\[ ax\equiv b\,\,\,(mod\,\,p) \]
线性同余方程及其求解
未知数指数为1的同余方程叫做线性同余方程，它的通式可以被表示为：
\[ ax\equiv b\,\,\,(mod\,\,p) \]
我们可以用扩展GCD求解线性同余方程。
如果对于扩展GCD还不太明白的小伙伴，请移步本蒟蒻的这篇博客，讲解的也比较清晰：
那么，我们知道扩展GCD可以被用来求解形如\(ax+by=m(gcd(a,b)|m)\)这样的方程。我们只需要把这个同余方程式变成这样的普通等式即可。
因为\(ax\equiv b\,\,\,(mod\,\,p)\)等价于\(ax-b\)可以被\(p\)整除，那么可以设\(ax-b\)是\(p\)的\(-y\)倍，那么就有：
\[ (ax-b)\times(-y)=p \]
经过移项变形，得到：
\[ ax+py=b \]
那么我们就可以通过扩展GCD来求一组特解\(x,y\)，其中的\(x\)就是我们需要的答案。
注意，根据裴蜀定理，这个同余方程有解的条件应该是\(b\)是\(\gcd(a,p)\)的倍数。
同余方程组与中国剩余定理
中国剩余定理相信大家都听说过，也叫做孙子定理，是我国古代数学的结晶之一（这个玩意真的是纯国产）（推销一下爱国情怀）。
中国剩余定理是用来求解：一次同余方程组的。
为了更好地理解中国剩余定理，我们来看一波历史：
从前有一本叫《孙子算经》的书，里面提到了一道这样的问题：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
大意： 一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
那么这个问题可以被抽象为一个同余方程组：
\[ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{**lr**} x\equiv2\,\,\,(mod\,\,3)& \\ x\equiv3\,\,\,(mod\,\,5) & \\ x\equiv2\,\,\,(mod\,\,7) & \end{array} \right. \end{equation} \]
那么，将它扩展一下，我们可以有很多个方程，都形如\(x\equiv a_i\,\,\,(mod\,\,m_i)\)。将其构造成一个方程组，就会有一个线性同余方程组（当我没说）。
假设一个数\(M=\prod^n_{i=1}m_i\)，那么设\(M_i=M/m_i\)，即\(M_i\)表示所有模数中除了第\(i\)个模数的乘积。设\(t_i\)为\(M_i\)模\(m_i\)意义下的逆元。那么中国剩余定理就是：
上述方程式有解，其通解为：
\[ x=\sum^n_{i=1}{a_it_iM_i} \]