关于方程a^x=1(mod m)的最小x解

定理：

设gcd(a,m)=1，必有正整数x，使得a^x=1(mod m),且设满足等式的最小正整数为x0，必满足x0|phi（m）.注意m>1.
否则如果gcd(a,m)!=1，则方程a^x=1(mod m)没有解。

典型题目：HDU1395，HDU3307，POJ3696

前面两题很简单，下面我们来分析POJ3696.

题目：The Luckiest number

题意：求出由全8组成的数的最短长度，使得给定的L能整除它。

Sample Input

8
11
16
0
Sample Output

Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

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LL dp[1000005];

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b? gcd(b,a%b):a;
}

LL phi(LL n)
{
    LL rea=n,i;
    for(i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            rea=rea-rea/i;
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
        rea=rea-rea/n;
    return rea;
}

LL multi(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans+a)%m;
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=(a+a)%m;
    }
    return ans;
}

LL quick_mod(LL a,LL b,LL m)
{
    LL ans=1;
    a%=m;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=multi(ans,a,m);
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=multi(a,a,m);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int k=1;
    LL L,i,m;
    while(cin>>L)
    {
        if(L==0) break;
        printf("Case %d: ",k++);
        m=9*L/gcd(8,L);
        if(gcd(10,m)!=1)
        {
            puts("0");
            continue;
        }
        LL ans=phi(m);
        LL size=0;
        for(i=1;i*i<=ans;i++)
        {
            if(ans%i==0)
            {
                dp[size++]=i;
                if(ans!=i*i) dp[size++]=ans/i;
            }
        }
        sort(dp,dp+size);
        for(i=0;i<size;i++)
            if(quick_mod(10,dp[i],m)==1) break;
        cout<<dp[i]<<endl;
    }
    return 0;
}