题目描述
题目分析
- 这一道题本身算法并不难,但思考难度也不低。
- “烹饪方法互不相同”这个条件用DP可以很好解决,关键是每一个食材出现次数不超过 ,接下来我们所说的不合法均指不满足该条件。
- 本题最关键的一点便是——容斥。考虑先求出总的方案数,再减去不合法的方案数。
- 总数求法很简单,那么如何求不合法的方案数呢?我们考虑先枚举超出限制的食材。因为超限的食材会出现超过 次,所以不可能同时有两个食材超出限制,这是解决这个问题的突破口。
- 接着我们就可以设DP了,朴素的做法是设 表示当前DP做到第 种烹饪方法,有 道菜不用食材 , 道菜用了食材 ,这样的情况有多少种方案。其中食材 指的是我们所枚举的超限的食材。
- 这样的话我们的答案就是满足 的 的和。
- 但我们发现这样子做的时间复杂度是 的,那么该如何优化呢?
- 发现这个DP的关键是 ,移项可得 ,假如我们把 当成状态,是否能优化DP呢?
- 答案是肯定的。
- 我们设 ,其中 的意义同上, 就是上述的 。
- 下面是状态转移方程:
- 最后只要对于 的 加起来即可,时间复杂度 。
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=110,M=2e3+100;
const int mod=998244353;
int a[N][M],f[N][N],Sum[N],g[N][2*N];
int main()
{
freopen("meal.in","r",stdin);
freopen("meal.out","w",stdout);
int n,m;
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(Sum,0,sizeof(Sum));
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
scanf("%d",&a[i][j]);
Sum[i]=(Sum[i]+a[i][j])%mod;
}
f[0][0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=1;j<=n;j++){
f[i][j]=(f[i-1][j]+(ll)f[i-1][j-1]*Sum[i])%mod;
}
f[i][0]=1;
}
int Ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++) Ans=(Ans+f[n][i])%mod;
for(int i=1;i<=m;i++){
memset(g,0,sizeof(g));
g[0][n]=1;
for(int j=1;j<=n;j++){
for(int k=0;k<=2*n;k++){
if(g[j-1][k]){
g[j][k+1]=(g[j][k+1]+(ll)g[j-1][k]*(Sum[j]-a[j][i]+mod))%mod;
g[j][k-1]=(g[j][k-1]+(ll)g[j-1][k]*a[j][i])%mod;
g[j][k]=(g[j][k]+g[j-1][k])%mod;
}
}
}
int sum=0;
for(int j=0;j<n;j++) sum=(sum+g[n][j])%mod;
Ans=(Ans-sum+mod)%mod;
}
printf("%d\n",Ans);
return 0;
}