[NOI2017]泳池（历史遗留问题）

一、题目

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二、解法

我们可以做一下问题的转化，求出正好等于 $k$的就等价于求出 $\le k$ 减去 $<k$ 的情况。

0x01 预处理

有一个根本想不到 的 $dp$，由于每一个格子安全或者不安全的概率是一样的，所以位置就没有这么重要了，我们定义 $dp[i][j]$为最大矩阵大小为 $i\times (j-1)$，并且在 $j$处被截断了，我们可以写出如下转移：
$\begin{cases} dp[i][j]=0 & i\times j>k\\ dp[i][j]=\sum_{t=1}^{i} (\sum_{p=j+1}^\infty dp[t-1][p])\times (\sum_{p=j}^\infty dp[i-t][p]) & otherwise \end{cases}$解释一下为什么第一个柿子要从 $i+1$开始枚举，因为同一行可能有多个叉，所以我们只能然后面的去统计前面的方案。显然上式可以用后缀和优化，我们设 $dps[i][j]=\sum_{p=1}^\infty dp[i][p]$，柿子就可以写成这样：
$dp[i][j]=\sum_{t=1}^i dps[t-1][j+1]\times dps[i-t][j]$真正有用的状态数只有 $k\log k$个（考虑 $k+\frac{k}{2}+.....$的大小），转移复杂度 $O(k)$，处理出 $dp$数组总共的复杂度是 $O(k^2\log k)$。

0x02 海岸线

得到 $dp$数组以后，海岸线就好处理多了，我们定义 $f[i]$ 为处理到了 $i$处，在 $i$处安放障碍的概率，则转移为：
$f[i]=\sum_{j=1}^k f[i-j-1]\times dps[j][2]$上式显然能用矩阵快速幂解决，时间复杂度 $O(k^3\log n)$。

上式是一个常系数齐次线性递推，直接套板子，可以优化到 $O(k^2\log n)$。

咕咕咕