HDU-5945(DP+单调队列优化)

Problem Description
Young theoretical computer scientist Fxx designed a game for his students.

In each game, you will get three integers X,k,t.In each step, you can only do one of the following moves:

1.X=X−i(0<=i<=t).

2.if k|X,X=X/k.

Now Fxx wants you to tell him the minimum steps to make X become 1.

Input
In the first line, there is an integer T(1≤T≤20) indicating the number of test cases.

As for the following T lines, each line contains three integers X,k,t(0≤t≤106,1≤X,k≤106)

For each text case,we assure that it’s possible to make X become 1。

Output
For each test case, output the answer.

Sample Input

2
9 2 1
11 3 3

Sample Output

4
3

题目大意：给出三个数x，k，t，对于这个数x，我们有两种变化,：
1，我们可以让x减去一个数y，其中 0<=y<=t
2，如果x是k的倍数，那么我们可以让x=x/k
每一次我们可以选择以上两种操作之一，问从x到1的最小变化次数是多少。

解题思路：这个题我们可以很容易的推出状态转移公式，

dp[j]=min(dp[i])+1 (其中0<=j-i<=t)
if(j%k==0) dp[j]=min(dp[j],dp[j/k]+1);

我们很容易就可以推导出以上式子，但是发现遍历i时的复杂度为O(N)的，而t是一个小于等于1e6的数，所以暴力肯定会T的，这里我们就要用到单调队列优化啦。单调队列，就是存储的值是具有单调性的队列，所以我们可以通过维护这个单调队列来让我们可以O(1)的取出这个最小值，但是又有一个问题，怎么保证j-i<=t呢？我们可以用一个头指针来保存现在的单调队列的开始位置，用一个id数组来保存队列中的值出现的位置，如果队列中的值所在的位置不能满足可以通过相减来得到时，就将头指针向后移一位，保证我们所求的单调队列中的最小值就是前t项的最小值。
代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <vector>
#include <set>
#include <map>
#include <bitset>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e6 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int st[maxn],top,head,id[maxn];
int dp[maxn];
signed main() {
	int T;
	cin>>T;
	while(T--) {
		memset(dp,inf,sizeof dp);
		dp[1]=0;
		int x,k,t;
		head=top=0;
		memset(st,0,sizeof st);
		memset(id,0,sizeof id);
		id[++top]=1;
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&k,&t);
		for(int i=2; i<=x; i++) {
			if(i%k==0)dp[i]=dp[i/k]+1;
			while(i-id[head+1]>t && top>head)head++;
			if(head<top) dp[i]=min(dp[i],st[head+1]+1);
			while(st[top]>=dp[i] && top>head) {
				top--;
			}
			st[++top]=dp[i],id[top]=i;
		}
		printf("%lld\n",dp[x]);
	}
}