由于算法讲解文字较多，直接摘图，撰写本文的目的在于写出我对代码的详细解读。如有错误，请大家指出。
注：前面问题描述以及算法分析摘取其他优秀网站，后面附有详细的代码讲解，以及图片讲解
代码运行分析如下：
★代码实现(java)：
//0-1背包问题（跳跃点）
/*p用于保存所有可能的最优值
* 设题目为w={2,2,6,5,4};v={6,3,5,4,6};c=10;时
* p保存的数据如下：
* p={
* (0,0), <<=p[6] , head[6]=0,记录（0,0）所在的行的位置
* (0,0),(4,6), <<=p[5] , head[5]=1,记录（0,0）所在的行的位置
* (0,0),(4,6),(9,10), <<=p[4] , head[4]=3,记录（0,0）所在的行的位置
* (0,0),(4,6),(9,10),(10,11), <<=p[3] , head[3]=6,记录（0,0）所在的行的位置
* (0,0),(2,3),(4,6),(6,9),(9,10),(10,11), <<=p[2] , head[2]=10,记录（0,0）所在的行的位置
* (0,0),(2,6),(4,9),(6,12),(8,15) <<=p[1] , head[1]=16,head[0]=21,head[1]记录（0,0）所在的行的位置，head[0]记录（8,15）接下来下一个值的行的位置
* }
* 假设每个物品都可以加入背包后，且此时有最优值，
* 共有n个物品，则设存在第n+1个物品，且重量为0，价值为0;
* 则p[i]的元素的个数一次自增1，则p的行数为1+2+3+4+..+n+(n+1)=(1+(n+1))*(n+1)/2
* */
public class knapsack_problem {
static double[][] p;
static int[] x;
public static void main(String[] args){
double[] w={2,2,6,5,4}; //可自行修改代码使w,v,c为用户进行输入
double[] v={6,3,5,4,6};
double c=10;
p=new double[((1+(w.length+1))*(w.length+1))/2][2]; //p用于保存所有可能的最优值，行数为（（1+项数加1）*项数加1）/2，列数为2，（项数加1，因为假设除了存在w.length个物品外，还存在一个第w.length号物品，且重量为0，价值为0））
x=new int[w.length+1]; //在求得最优值时，x[i]记录第i个物品是否放进背包，0为不放进，1为放进去
int[] head=new int[w.length+2]; //head记录每个p[i]方式的记录的第一个跳跃点，具体看代码前面注释
knapsack_problem pack =new knapsack_problem();
System.out.println("具体实例为w={2,2,6,5,4};v={6,3,5,4,6};c=10时，有：");
System.out.println("求得的最优值为："+pack.knapsack(w,v,c,p,head)); //求解最优值
pack.traceback(w,v,c,p,head,x); //求得最优值后，求取放进背包的物品
pack.show_traceback(); //求得最优值后，显示放进背包的物品
}
//求得最优值后，显示被放进背包的物品
private void show_traceback() {
System.out.print("装入背包分别为第");
for(int i=0;i<x.length;i++){
if(x[i]==1) System.out.print(i+" ");
}
System.out.println("个物品");
}
/*注意：以下注释的p[i]均指代码前注解所指的p[i],而不是指数组p的第i行*/
//p[i][0]保存当前最优值的质量（即可能占用的背包空间），p[i][1]保存当前最优值的价值
public double knapsack(double[] w,double[] v,double c,double[][] p,int[] head){
int n=v.length-1;
head[n+2] = 0; //指向p[6]的第一个元素(0,0)在p中的位置
p[0][0] = 0; //默认存在第六个物品，质量为0，价值为0，放进背包
p[0][1] =0;
int left = 0,right = 0, //left和right分别指向p[i]的第一个元素和最后一个元素
next = 1; //next指向p中接下来还没存数据的空行
head[n+1] =1; //指向p[5]的第一个元素(0,0)在p中的位置
for(int i=n;i>=0;i--){ //从倒数第一个物品开始，对物品逐个进行判断是否放进背包，注：w[0]为第一个物品的重量
int k=left;
for(int j=left;j<=right;j++){
if(p[j][0]+w[i]>c) break; //当第i个物品加进背包超出10（背包承受最大重量），跳出循环，不放进去
double y=p[j][0]+w[i], //当第i个物品加进背包时，产生重量保存在y中
m=p[j][1]+v[i]; //当第i个物品加进背包时，产生价值保存在m中
while(k<=right && p[k][0]<y){//当不将第i个物品加进背包的重量小于加入背包的重量时，直接添加p[k][0]和p[k][1]到next指向的行上
p[next][0] = p[k][0];
p[next++][1] = p[k++][1];//赋值后,k,next先后分别进行自增
}
if(k<=right && p[k][0]==y){ //当不将第i个物品加进背包与加入背包的重量相同时
if(m<p[k][1]){ //若不将第i个物品加进背包产生的价值更大，
m = p[k][1]; //则把第i个物品没有加进背包时产生的价值赋值给m
}
k++;
}
if(m>p[next-1][1]){ //当将第i个物品加进背包产生的价值更大，将其加入背包
p[next][0]=y;
p[next++][1]=m;
}
while(k<=right && p[k][1]<=p[next-1][1]){k++;} //当不将第i个物品加进背包产生的价值更大，k++
}
while(k<=right){ //将余下的值（k到right,即没有进行比较的数据），直接追加到p上
p[next][0] = p[k][0];
p[next++][1] = p[k++][1];
}
left = right+1; //指向当前p[i]的第一个元素(0,0)的位置
right = next-1; //指向当前p[i]的最后一个元素的位置
head[i] = next; //记录下一组p[i]的第一个元素(0,0)的位置
}
return p[next-1][1]; //返回最优值
}
//分别对每个物品是否在背包中
public void traceback(double[] w,double[] v,double c,double[][] p,int[] head,int[] x){
int n = w.length-1;
double j = p[head[0]-1][0], //j为最优值的重量
m = p[head[0]-1][1]; //m为最优值的价值
for(int i=1;i<=n+1;i++){
x[i] = 0; //设定第i个物品不在背包中，即x[i] = 0
for(int k = head[i+1];k<=head[i]-1;k++){ //head[i+1]head[i]-1依次分别为p[2],p[3],p[4],p[5],p[6]的第一个元素和最后一个元素的位置
if(p[k][0]+w[i-1]==j && p[k][1]+v[i-1]==m){ //eg:(6,9)+(2,6)=(8,15),即第一个物品在背包中，(4,6)+(2,3)=(6,9),即第二个物品在背包中，(0,0)+(4,6)=(4,6),即第五个物品在背包中
x[i]=1; //第i个物品位于背包中，可产生最优值，即x[i] = 1
j = p[k][0]; //j变化为：j=8=>>j=6=>>j=4
m = p[k][1]; //m变化为：m=15=>>m=9=>>m=6
break; //跳出循环，从而对下一个物品进行判断是否在背包中
}
}
}
}
}运行结果如下：
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