26.Algorithm Gossip: 约瑟夫问题(Josephus Problem)
说明
据说着名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事:在罗马人占领乔塔帕特后,39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人到,于是决定了 一个自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人 开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀, 然后再由下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。
然而Josephus 和他的朋友并不想遵从,Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。
解法
约瑟夫问题可用代数分析来求解,将这个问题扩大好了,假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏,您要如何保护您与您的朋友?只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏,这两个圆圈内圈是排列顺序,而外圈是自杀顺序,如下图所示:
使用程式来求解的话,只要将阵列当作环状来处理就可以了,在阵列中由计数1开始,每找到三个无资料区就填入一个计数,直而计数达41为止,然后将阵列由索引1开始列出,就可以得知每个位置的自杀顺序,这就是约瑟夫排列,41个人而报数3的约琴夫排列如下所示:
14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 4 25 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12
22 33 13 29 23
由上可知,最后一个自杀的是在第31个位置,而倒数第二个自杀的要排在第16个位置,之前的人都死光了,所以他们也就不知道约琴夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define N 41
#define M 3
int main(void) {
int man[ N] ={
0
} ;
int count = 1;
int i = 0, pos = -1;
int alive = 0;
while (count <= N) {
do {
pos = (pos + 1) % N; // 环状处理
if (man[pos] == 0) i++;
if (i == M) { // 报数为3了
i = 0;
break;
}
} while (1);
man[pos] = count;
count++;
}
printf("\n约琴夫排列:");
for (i = 0; i < N; i++)
printf("%d ", man[i]);
printf("\n\n您想要救多少人?");
scanf("%d", & alive);
printf("\nL表示这%d人要放的位置:\n", alive);
for (i = 0; i < N; i++) {
if (man[i] > alive) printf("D");
else printf("L");
if ((i + 1) % 5 == 0) printf(" ");
}
printf("\n");
return 0;
}