遗传算法求解最大值问题详解（附python代码）

问题：求 $y=x\sin{10x}+x\cos{2x}$在 $[0, 5]$上的最大值。
解题步骤：
1、随机生成种群 $pop$，每个种群中含有 $100$条染色体。每个染色体上含有10个基因（以二进制表示自变量，故每条染色体上表示的数字范围是 $[0, 1023]$）。
2、计算这些染色体的适应度，适应度大的在下一步被选到的概率大。
3、依概率从100条染色体中有放回地抽取100条染色体（有重复染色体），令这新的100条染色体组成新的种群 $pop_{new}$。
4、将 $pop_{new}$复制为 $pop_{copy}$来表示另一条父染色体用来与 $pop_{new}$中的染色体进行交叉配对。
5、从 $pop_{new}$中选出第一条染色体进行交叉检验。
6、假设交叉的概率为 $0.8$，则 $pop_{new}$中的每条染色体都有 $80$的概率需要交叉，假设第一条染色体是要进行交叉的。（若未被选中则继续第二条染色体的交叉检验，直到遍历完 $pop_{new}$中所有染色体）
7、随机在 $pop_{copy}$中选择一条染色体与 $pop_{new}$中第一条染色体进行交叉，假设选中 $pop_{copy}$中第三条染色体。
8、选择 $pop_{new}$中第一条染色体上需要改变的基因是哪些，假设为前三个基因。
9、将 $pop_{copy}$中第三条染色体上的前三个基因取出放到 $pop_{new}$中第一条染色体上的前三个位置。交叉完毕，得到一条子染色体 $child$。
10、对 $child$进行编变异操作，假设变异概率为 $0.003$。
11、依次对 $child$上所有基因进行变异检验，如果某基因需要变异，则将此处位置的数字取反（ $0\rightarrow1或1\rightarrow0$）。
12、用经过了交叉变异的 $child$代替 $pop_{new}$中的父染色体（即第一条染色体）。
13、重复以上操作，遍历完 $pop_{new}$中所有染色体后，第一次种群更新完成。
以下为 $python$代码：

import numpy as np

DNA_SIZE = 10  # DNA length
POP_SIZE = 100  # population size
CROSS_RATE = 0.8  # mating probability (DNA crossover)
MUTATION_RATE = 0.003  # mutation probability
N_GENERATIONS = 200
X_BOUND = [0, 5]  # x upper and lower bounds

def F(x): 
    return np.sin(10*x)*x + np.cos(2*x)*x     # to find the maximum of this function
    
def get_fitness(pred):
    return pred - np.min(pred) + 1e-3  # 防止出现非正值，因为 select 时概率非负。
    
def translateDNA(pop):
    # np.arange(DNA_SIZE)[::-1] --> array([9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0])
    # 2 ** np.arange(DNA_SIZE)[::-1] --> array([512, 256, 128,  64,  32,  16,   8,   4,   2,   1], dtype=int32)
    # pop.dot(2 ** np.arange(DNA_SIZE)[::-1]) --> 将二进制转换为十进制
    # (2 ** DNA_SIZE - 1) --> 1023
    # pop.dot(2 ** np.arange(DNA_SIZE)[::-1]) / (2 ** DNA_SIZE - 1) --> 计算染色体值占最大值(1023)的比例
    # pop.dot(2 ** np.arange(DNA_SIZE)[::-1]) / (2 ** DNA_SIZE - 1) * X_BOUND[1] --> 将范围从[0, 1023]缩放到[0， 5]
    
    return pop.dot(2 ** np.arange(DNA_SIZE)[::-1]) / (2 ** DNA_SIZE - 1) * X_BOUND[1]
    
def select(pop, fitness):
    # 在 np.arange(POP_SIZE) 中依概率 p 选出 size 个染色体代号
    # replace=True 表示选出的染色体可以有重复的
    idx = np.random.choice(np.arange(POP_SIZE), size=POP_SIZE, replace=True, p=fitness / fitness.sum())
    return pop[idx]
    
def crossover(parent, pop):
    if np.random.rand() < CROSS_RATE:
        i_ = np.random.randint(0, POP_SIZE, size=1)  # 选定 pop 中需要交叉的染色体，如 i_ = 1，表示第二条染色体
        
        # 选择需要改变的基因，如 cross_points = [False  True  True False False  True False  True  True False]
        # 表示第2，3，6，8，9个位置上的基因会改变
        cross_points = np.random.randint(0, 2, size=DNA_SIZE).astype(np.bool)
        
        # pop[i_, cross_points] 会得到 pop 种群中 i_ 这条染色体上的 cross_points 中 True 位置上的基因
        # parent[cross_points] = pop[i_, cross_points] 将刚刚得到的基因放到 parent 这条染色体的 cross_points 中 True 的位置上
        parent[cross_points] = pop[i_, cross_points]
    return parent
    
def mutate(child):
    for point in range(DNA_SIZE):
        if np.random.rand() < MUTATION_RATE:
            child[point] = 1 if child[point] == 0 else 0
    return child
    
pop = np.random.randint(2, size=(POP_SIZE, DNA_SIZE))   # initialize the pop DNA
print(pop.shape)

for _ in range(N_GENERATIONS):
    F_values = F(translateDNA(pop))    # compute function value by extracting DNA

    # GA part (evolution)
    fitness = get_fitness(F_values)
    print("Most fitted DNA: ", pop[np.argmax(fitness), :], "适应度为：", round(fitness[np.argmax(fitness)], 3))
    pop = select(pop, fitness)
    pop_copy = pop.copy()
    for parent in pop:
        child = crossover(parent, pop_copy)
        child = mutate(child)
        parent = child       # 用经过交叉变异的下一代（新的染色体）来代替上一代（pop 种群中选出的）
print('最大值为：', F(translateDNA(pop[np.argmax(fitness), :])))