【转自孟岩】理解矩阵（三）

在第二部分结束的时候，我说：

矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而 作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点 与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。
这个留在下一篇再写吧。
因为有别的事情要做，下一篇可能要过几天再写了。

然而这一拖就是一年半。一年半以来，这两篇粗糙放肆的文章被到处转载，以至于在Google的搜索提示中，我的名字跟“矩阵”是一对关联词汇。这对于学生时代数学一直很差的我来说，实在是令人惶恐的事情。数学是何等辉煌精致的学问！代表着人类智慧的最高成就，是人与上帝对话的语言。而我实在连数学的门都还没进去，不要说谈什么理解，就是稍微难一些的题目我也很少能解开。我有什么资格去谈矩阵这样重要的一个数学概念呢？更何况，我的想法直观是直观，未见的是正确的啊，会不会误人子弟呢？因此，算了吧，到此为止吧，我这么想。

是时不时收到的来信逐渐改变了我的想法。

一年半以来，我收到过不下一百封直接的来信，要求我把后面的部分写出来。这些来信大部分是国内的网友和学生，也有少数来自正在国外深造的朋友，大部分是鼓励，有的是诚挚的请求，也有少数严厉斥责我不守承诺。不管是何种态度，这都表明他们对我这一点点小小的思考成果的鼓励，特别是对于我这种思维的视角和尝试的鼓励。他们在信中让我知道，尽管我的数学水平不高，但是我这种从普通人（而不是数学家）视角出发，强调对数学概念和规则的直觉理解的思路，对于很多人是有益的。也许这条路子在数学中绝非正道，也不会走得很远，但是无论如何，在一定的阶段，对一部分人来说，较之目前数学教材普遍采用的思路，这种方式可能更容易理解一些。既然是可能对一部分人有帮助的事情，那么我就不应该心存太多杂念，应该不断思考和总结下去。

所以，下面就是你们来信要求我写出来的东西。

首先来总结一下前面两部分的一些主要结论：

1. 首先有空间，空间可以容纳对象运动的。一种空间对应一类对象。
2. 有一种空间叫线性空间，线性空间是容纳向量对象运动的。
3. 运动是瞬时的，因此也被称为变换。
4. 矩阵是线性空间中运动（变换）的描述。
5. 矩阵与向量相乘，就是实施运动（变换）的过程。
6. 同一个变换，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但是它们的本质是一样的，所以本征值相同。

下面让我们把视力集中到一点以改变我们以往看待矩阵的方式。我们知道，线性空间里的基本对象是向量，而向量是这么表示的：

$$[a_1, a_2, a_3, ..., a_n]$$

矩阵呢？矩阵是这么表示的：

$$\left[ \begin{matrix} a_{11}, & a_{12}, & a_{13}, &\cdots, & a_{1n}\\ a_{21}, & a_{22}, & a_{23}, &\cdots, & a_{2n}\\ a_{31}, & a_{32}, & a_{33}, &\cdots, & a_{3n}\\ & & \cdots\\ a_{m1}, & a_{m2}, & a_{m3}, &\cdots, & a_{mn}\\ \end{matrix} \right]$$

不用太聪明，我们就能看出来，矩阵是一组向量组成的。特别的，$n$维线性空间里的方阵是由n个$n$维向量组成的。我们在这里只讨论这个$n$阶的、非奇异的方阵，因为理解它就是理解矩阵的关键，它才是一般情况，而其他矩阵都是意外，都是不得不对付的讨厌状况，大可以放在一边。这里多一句嘴，学习东西要抓住主流，不要纠缠于旁支末节。很可惜我们的教材课本大多数都是把主线埋没在细节中的，搞得大家还没明白怎么回事就先被灌晕了。比如数学分析，明明最要紧的观念是说，一个对象可以表达为无穷多个合理选择的对象的线性和，这个概念是贯穿始终的，也是数学分析的精华。但是课本里自始至终不讲这句话，反正就是让你做吉米多维奇，掌握一大堆解偏题的技巧，记住各种特殊情况，两类间断点，怪异的可微和可积条件（谁还记得柯西条件、迪里赫莱条件…？），最后考试一过，一切忘光光。要我说，还不如反复强调这一个事情，把它深深刻在脑子里，别的东西忘了就忘了，真碰到问题了，再查数学手册嘛，何必因小失大呢？

言归正传。如果一组向量是彼此线性无关的话，那么它们就可以成为度量这个线性空间的一组基，从而事实上成为一个坐标系体系，其中每一个向量都躺在一根坐标轴上，并且成为那根坐标轴上的基本度量单位（长度1）。

现在到了关键的一步。看上去矩阵就是由一组向量组成的，而且如果矩阵非奇异的话（我说了，只考虑这种情况），那么组成这个矩阵的那一组向量也就是线性无关的了，也就可以成为度量线性空间的一个坐标系。结论：矩阵描述了一个坐标系。

“慢着！”，你嚷嚷起来了，“你这个骗子！你不是说过，矩阵就是运动吗？怎么这会矩阵又是坐标系了？”

嗯，所以我说到了关键的一步。我并没有骗人，之所以矩阵又是运动，又是坐标系，那是因为——

“运动等价于坐标系变换”。

对不起，这话其实不准确，我只是想让你印象深刻。准确的说法是：

“对象的变换等价于坐标系的变换”。

或者：

“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换。”

说白了就是：

“运动是相对的。”

让我们想想，达成同一个变换的结果，比如把点$(1, 1)$变到点$(2, 3)$去，你可以有两种做法。第一，坐标系不动，点动，把$(1, 1)$点挪到$(2, 3)$去。第二，点不动，变坐标系，让x轴的度量（单位向量）变成原来的$\dfrac{1}{2}$，让y轴的度量（单位向量）变成原先的$\dfrac{1}{3}$，这样点还是那个点，可是点的坐标就变成$(2, 3)$了。方式不同，结果一样。

从第一个方式来看，那就是我在《理解矩阵》1/2中说的，把矩阵看成是运动描述，矩阵与向量相乘就是使向量（点）运动的过程。在这个方式下，

$$Ma = b$$

的意思是：

“向量a经过矩阵$M$所描述的变换，变成了向量$b$。”

而从第二个方式来看，矩阵M描述了一个坐标系，姑且也称之为$M$。那么：

$$Ma = b$$
的意思是：

“有一个向量，它在坐标系$M$的度量下得到的度量结果向量为$a$，那么它在坐标系$I$的度量下，这个向量的度量结果是$b$。”

这里的$I$是指单位矩阵，就是主对角线是1，其他为零的矩阵。

而这两个方式本质上是等价的。

我希望你务必理解这一点，因为这是本篇的关键。

正因为是关键，所以我得再解释一下。

在$M$为坐标系的意义下，如果把$M$放在一个向量$a$的前面，形成$Ma$的样式，我们可以认为这是对向量$a$的一个环境声明。它相当于是说：

“注意了！这里有一个向量，它在坐标系$M$中度量，得到的度量结果可以表达为$a$。可是它在别的坐标系里度量的话，就会得到不同的结果。为了明确，我把$M$放在前面，让你明白，这是该向量在坐标系$M$中度量的结果。”

那么我们再看孤零零的向量$b$：

$$b$$
多看几遍，你没看出来吗？它其实不是 $b$，它是：
$$Ib$$
也就是说：“在单位坐标系，也就是我们通常说的直角坐标系 $I$中，有一个向量，度量的结果是 $b$。”

而$Ma = Ib$的意思就是说：

“在$M$坐标系里量出来的向量$a$，跟在$I$坐标系里量出来的向量$b$，其实根本就是一个向量啊！”

这哪里是什么乘法计算，根本就是身份识别嘛。

从这个意义上我们重新理解一下向量。向量这个东西客观存在，但是要把它表示出来，就要把它放在一个坐标系中去度量它，然后把度量的结果（向量在各个坐标轴上的投影值）按一定顺序列在一起，就成了我们平时所见的向量表示形式。你选择的坐标系（基）不同，得出来的向量的表示就不同。向量还是那个向量，选择的坐标系不同，其表示方式就不同。因此，按道理来说，每写出一个向量的表示，都应该声明一下这个表示是在哪个坐标系中度量出来的。表示的方式，就是$Ma$，也就是说，有一个向量，在$M$矩阵表示的坐标系中度量出来的结果为$a$。我们平时说一个向量是$[2,3, 5, 7]^T$，隐含着是说，这个向量在$i$坐标系中的度量结果是$[2,3, 5, 7]^T$，因此，这个形式反而是一种简化了的特殊情况。

注意到，$M$矩阵表示出来的那个坐标系，由一组基组成，而那组基也是由向量组成的，同样存在这组向量是在哪个坐标系下度量而成的问题。也就是说，表述一个矩阵的一般方法，也应该要指明其所处的基准坐标系。所谓$M$，其实是$IM$，也就是说，$M$中那组基的度量是在$I$坐标系中得出的。从这个视角来看，$M\times N$也不是什么矩阵乘法了，而是声明了一个在$M$坐标系中量出的另一个坐标系$N$，其中$M$本身是在$I$坐标系中度量出来的。

回过头来说变换的问题。我刚才说，“固定坐标系下一个对象的变换等价于固定对象所处的坐标系变换”，那个“固定对象”我们找到了，就是那个向量。但是坐标系的变换呢？我怎么没看见？

请看：

$$Ma = Ib$$
我现在要变 $M$为 $I$，怎么变？对了，再前面乘以个 $M^{-1}$，也就是M的逆矩阵。换句话说，你不是有一个坐标系M吗，现在我让它乘以个 $M^{-1}$，变成 $I$，这样一来的话，原来 $M$坐标系中的 $a$在 $I$中一量，就得到 $b$了。

我建议你此时此刻拿起纸笔，画画图，求得对这件事情的理解。比如，你画一个坐标系，x轴上的衡量单位是2，y轴上的衡量单位是3，在这样一个坐标系里，坐标为(1，1)的那一点，实际上就是笛卡尔坐标系里的点(2, 3)。而让它原形毕露的办法，就是把原来那个坐标系:

$$\left[\begin{matrix} 2&0\\ 0&3 \end{matrix} \right]$$
的x方向度量缩小为原来的 $\dfrac{1}{2}$，而y方向度量缩小为原来的 $\dfrac{1}{3}$，这样一来坐标系就变成单位坐标系 $I$了。保持点不变，那个向量现在就变成了(2, 3)了。

怎么能够让“x方向度量缩小为原来的$\dfrac{1}{2}$，而y方向度量缩小为原来的$\dfrac{1}{3}$”呢？就是让原坐标系：

$$\left[\begin{matrix} 2&0\\ 0&3 \end{matrix} \right]$$
被矩阵：
$$\left[\begin{matrix} \dfrac{1}{2}&0\\ 0&\dfrac{1}{3} \end{matrix} \right]$$
左乘。而这个矩阵就是原矩阵的逆矩阵。

下面我们得出一个重要的结论：

“对坐标系施加变换的方法，就是让表示那个坐标系的矩阵与表示那个变化的矩阵相乘。”

再一次的，矩阵的乘法变成了运动的施加。只不过，被施加运动的不再是向量，而是另一个坐标系。

如果你觉得你还搞得清楚，请再想一下刚才已经提到的结论，矩阵$M\times N$，一方面表明坐标系$N$在运动$M$下的变换结果，另一方面，把$M$当成$N$的前缀，当成N的环境描述，那么就是说，在$M$坐标系度量下，有另一个坐标系$N$。这个坐标系$N$如果放在I坐标系中度量，其结果为坐标系$M\times N$。

在这里，我实际上已经回答了一般人在学习线性代数是最困惑的一个问题，那就是为什么矩阵的乘法要规定成这样。简单地说，是因为：

1. 从变换的观点看，对坐标系$N$施加$M$变换，就是把组成坐标系$N$的每一个向量施加$M$变换。
2. 从坐标系的观点看，在$M$坐标系中表现为$N$的另一个坐标系，这也归结为，对$N$坐标系基的每一个向量，把它在$I$坐标系中的坐标找出来，然后汇成一个新的矩阵。
3. 至于矩阵乘以向量为什么要那样规定，那是因为一个在$M$中度量为$a$的向量，如果想要恢复在I中的真像，就必须分别与$M$中的每一个向量进行內积运算。我把这个结论的推导留给感兴趣的朋友吧。应该说，其实到了这一步，已经很容易了。

综合以上1/2/3，矩阵的乘法就得那么规定，一切有根有据，绝不是哪个神经病胡思乱想出来的。

我已经无法说得更多了。矩阵又是坐标系，又是变换。到底是坐标系，还是变换，已经说不清楚了，运动与实体在这里统一了，物质与意识的界限已经消失了，一切归于无法言说，无法定义了。道可道，非常道，名可名，非常名。矩阵是在是不可道之道，不可名之名的东西。到了这个时候，我们不得不承认，我们伟大的线性代数课本上说的矩阵定义，是无比正确的：

“矩阵就是由m行n列数放在一起组成的数学对象。”

好了，这基本上就是我想说的全部了。还留下一个行列式的问题。矩阵$M$的行列式实际上是组成$M$的各个向量按照平行四边形法则搭成一个n维立方体的体积。对于这一点，我只能感叹于其精妙，却无法揭开其中奥秘了。也许我掌握的数学工具不够，我希望有人能够给我们大家讲解其中的道理了。

我不知道是否讲得足够清楚了，反正这一部分需要您花些功夫去推敲。

此外，请大家不必等待这个系列的后续部分。以我的工作情况而言，近期内很难保证继续投入脑力到这个领域中，尽管我仍然对此兴致浓厚。不过如果还有（四）的话，可能是一些站在应用层面的考虑，比如对计算机图形学相关算法的理解。但是我不承诺这些讨论近期内会出现了。