1.2 样本空间和事件

§2 样本空间和事件

定义1.2.1（样本点，样本空间）

随机试验可能出现的结果称为样本点，一般用 $\omega$ 表示。全体样本点构成样本空间，用 $\Omega$ 表示。

定义1.2.2（事件）

我们将事件定义为样本点的某个集合，称某事件发生当且仅当它所包含的某个样本点出现。

注：

1. 将样本空间 $\Omega$ 自身也视为一个事件，因为在每次试验中 $\Omega$ 必然发生，故常称它为必然事件。
2. 类似地，可将 $\emptyset$ 视为不可能事件。

在研究中，视必然事件和不可能事件为随机事件的两个极端情形统一处理。

下面研究事件间的关系和事件的运算:

两个事件 $A$ 和 $B$ 的关系：

1. 包含关系

   若 $A$ 中每个样本点都包含于 $B$ 中，则记为 $A \subset B$ 或 $B \supset A$，并称 $A被包含于B$，亦称事件 $B$ 包含了事件 $A$。

2. 等价关系

   若 $A \subset B$ 和 $B \subset A$ 同时成立，则称 $A$ 与 $B$ 等价。

3. 对立关系

   对于事件 $A$，由所有不包含在 $A$ 中的样本点所组成的事件称为 $A$ 的逆事件，或称为 $A$ 的对立事件。

对于事件 $A$ 和事件 $B$ ，定义以下的两个新事件:

1. $A$ 与 $B$的交

   用 $A\cap B$ 或 $AB$ 表示所有同时属于 $A$ 和 $B$ 的样本点的集合，称其为 $A$ 与 $B$的交。

2. $A$ 与 $B$的并

   用 $A\cup B$表示至少属于 $A$ 或 $B$ 的样本点的集合，称其为 $A$ 与 $B$的并。

   
   

若 $AB= \emptyset$ ，称 $A，B$ 是互不相容的。对于互不相容事件 $A$ 和 $B$，称它们的并为和，记作 $A+B$。

用 $A-B$ 表示包含在 $A$ 中而不包含在 $B$ 中的样本点全体，称其为 $A$ 与 $B$ 的差。

定理1.2.1（De Morgan，对偶原理）

$\overline{\bigcup^{n}_{i=1} A_{i}} = \bigcap^{n}_{i=1}\overline{A}_{i}$

$\overline{\bigcap^{n}_{i=1} A_{i}} = \bigcup^{n}_{i=1}\overline{A}_{i}$

对偶原理具有明显的概率意义：

至少发生一个事件的对立面是一个事件也不发生；所有的事件全部发生的对立面是至少有一个事件不会发生。

事件的运算成立交换律、结合律与分配律。
**定义1.2.3**（有限样本空间）

只有有限个样本点的样本空间称为有限样本空间。

若 $\Omega$ 是有限样本空间，其样本点为 $\omega_{1},\omega_{2},\dotsb, \omega_{n}$，在这种情形下可将 $\Omega$ 的任何子集都当作事件。在这样的样本空间中引入概率，只要对每个样本点 $\omega_{i}$ 都给定一个数与之对应，此数即称为 $\omega_{i}$ 的概率，记为 $P(\omega_{i})$，他是非负的，且满足：
$P(\omega_{1}) + P(\omega_{1}) + \dotsb + P(\omega_{n}) = 1.$