知识点十四：堆(上)

前言

“堆”（Heap），是一种特殊的树。堆这种数据结构的应用场景非常多，最经典的莫过于堆排序了。堆排序是一种原地的、时间复杂度为 O(nlogn) 的排序算法。我们知道，快速排序在平均情况下的时间复杂度为O(nlogn)。尽管这两种排序算法的时间复杂度都是 O(nlogn)，甚至堆排序比快速排序的时间复杂度还要稳定，但是，在实际的软件开发中，快速排序的性能要比堆排序好，这是为什么呢？

什么是“堆”？

什么样的树才是堆？只要满足这两点，它就是一个堆。

• 堆是一个完全二叉树；
• 堆中每一个节点的值都必须大于等于（或小于等于）其子树中每个节点的值。

第一点，堆必须是一个完全二叉树。完全二叉树要求，除了最后一层，其他层的节点个数都是满的，最后一层的节点都靠左排列。

第二点，堆中的每个节点的值必须大于等于（或者小于等于）其子树中每个节点的值。实际上，还可以换一种说法：堆中每个节点的值都大于等于（或者小于等于）其左右子节点的值，这两种表述是等价的。对于每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“大顶堆”。对于每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆，我们叫作“小顶堆”。

如何实现一个“堆”？

要实现一个堆，我们先要知道，堆都支持哪些操作以及如何存储一个堆。

如何存储一个“堆”？

我们知道，完全二叉树比较适合用数组来存储。用数组来存储完全二叉树是非常节省存储空间的。因为我们不需要存储左右子节点的指针，单纯地通过数组的下标，就可以找到一个节点的左右子节点和父节点。因此，堆是一颗完全二叉树，对于堆的存储也用数组。

从图中我们可以看到，数组中下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i∗2 的节点，右子节点就是下标为 i∗2+1 的节点，父节点就是下标为 i/2​ 的节点。

堆上的操作有哪些？

1. 往堆中插入一个元素

往堆中插入一个元素后，我们需要继续满足堆的两个特性。如果我们把新插入的元素放到堆的最后，如下图所示，是不是就不符合堆的特性了？于是，我们就需要进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程我们起了一个名字，就叫作堆化（heapify）。

堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。下面先讲从下往上的堆化方法。
堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。我们可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一直重复这个过程，直到父子节点之间满足刚说的那种大小关系。

上述往堆中插入数据的过程，参考代码实现如下：

public class Heap {
  private int[] a; // 数组，从下标1开始存储数据
  private int n;  // 堆可以存储的最大数据个数
  private int count; // 堆中已经存储的数据个数

  public Heap(int capacity) {
    a = new int[capacity + 1];
    n = capacity;
    count = 0;
  }

  public void insert(int data) {
    if (count >= n) return; // 堆满了
    ++count;
    a[count] = data;
    int i = count;
    while (i/2 > 0 && a[i] > a[i/2]) { // 自下往上堆化
      swap(a, i, i/2); // swap()函数作用：交换下标为i和i/2的两个元素
      i = i/2;
    }
  }
 }

注意：这里及下面的所有代码中都假设堆中的数据是从数组下标为 1 的位置开始存储。那如果从 0 开始存储，实际上处理思路是没有任何变化的，唯一变化的可能就是，代码实现的时候，计算子节点和父节点的下标的公式改变了。如果节点的下标是 i，那左子节点的下标就是 2∗i+1，右子节点的下标就是 2∗i+2，父节点的下标就是 (i−1)​/2。

2. 删除堆顶元素

从堆的定义的第二条中，任何节点的值都大于等于（或小于等于）子树节点的值，我们可以发现，堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。

假设我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，就需要把第二大的元素放到堆顶，那第二大元素肯定会出现在左右子节点中。然后我们再迭代地删除第二大节点，以此类推，直到叶子节点被删除。

不过，这种方法有点问题，就是最后堆化出来的堆并不满足完全二叉树的特性。
我们稍微改变一下思路，我们先把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。因为我们移除的是数组中的最后一个元素，而在堆化的过程中，都是交换操作，不会出现数组中的“空洞”，所以这种方法堆化之后的结果，肯定满足完全二叉树的特性。这就是从上往下的堆化方法。

上面的删除过程的参考代码如下：

public void removeMax() {
  if (count == 0) return -1; // 堆中没有数据
  a[1] = a[count];
  --count;
  heapify(a, count, 1);
}

private void heapify(int[] a, int n, int i) { // 自上往下堆化
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

我们知道，一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log₂​n。堆化的过程是顺着节点所在路径比较交换的，所以堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，也就是 O(logn)。插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。

堆排序

借助于堆这种数据结构实现的排序算法，就叫作堆排序。这种排序方法的时间复杂度非常稳定，是 O(nlogn)，并且它还是原地排序算法。如此优秀，它是怎么做到的呢？堆排序的过程大致分解成两个大的步骤，建堆和排序。

1.建堆

首先将数组原地建成一个堆。所谓“原地”就是，不借助另一个数组，就在原数组上操作。建堆的过程，有两种思路。

1. 第一种是借助前面讲的，在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含 n 个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为 1 的数据。然后，我们调用前面讲的插入操作，将下标从 2 到 n 的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含 n 个数据的数组，组织成了堆。
2. 第二种实现思路，跟第一种截然相反。第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。而第二种实现思路，是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。

第一种实现思路比较简单，接下来重点分析一下第二种实现思路。由于叶子节点往下堆化只能自己跟自己比较，所以我们直接从第一个非叶子节点开始，依次堆化就行了。


第二种思路的参考代码如下：

private static void buildHeap(int[] a, int n) {
  for (int i = n/2; i >= 1; --i) {
    heapify(a, n, i);
  }
}

private static void heapify(int[] a, int n, int i) {
  while (true) {
    int maxPos = i;
    if (i*2 <= n && a[i] < a[i*2]) maxPos = i*2;
    if (i*2+1 <= n && a[maxPos] < a[i*2+1]) maxPos = i*2+1;
    if (maxPos == i) break;
    swap(a, i, maxPos);
    i = maxPos;
  }
}

在这段代码中，我们从后往前，对数组中下标从 n/2​ 开始到 1 的数据进行堆化，下标是 n/2​+1 到 n 的节点是叶子节点，我们不需要堆化。因为，对于完全二叉树来说，下标从 n/2​+1 到 n 的节点都是叶子节点。

现在，我们来看，建堆操作的时间复杂度是多少呢？

每个节点堆化的时间复杂度是 O(logn)，那 n/2​ 个节点堆化的总时间复杂度不就是 O(nlogn) ？这个答案虽然也没错，但是这个值还不够精确。实际上，堆排序的建堆过程的时间复杂度是 O(n)。我们来详细推导一下。

因为叶子节点不需要堆化，所以需要堆化的节点从倒数第二层（即高度为1）开始。每个节点堆化的过程中，需要比较和交换的节点个数，跟这个节点的高度 k 成正比。下图把每一层的节点个数和对应的高度画了出来，我们只需要将每个节点的高度求和，得出的就是建堆的时间复杂度。

将每个非叶子节点的高度求和，就是下面这个公式：

这个公式的求解稍微有点技巧，公式左右都乘以 2，就得到另一个公式 S2。我们将 S2 与S1 错位对齐，并用 S2 减去 S1，可以得到 S。

S 的中间部分是一个等比数列，所以最后可以用等比数列的求和公式来计算，最终的结果就是下面图中画的这个样子。

因为 h=log₂​n，代入公式 S，就能得到 S=O(n)，所以，建堆的时间复杂度就是 O(n)。

2.排序

建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆的特性来组织的。数组中的第一个元素就是堆顶，也就是最大的元素。我们把它跟最后一个元素交换，那最大元素就放到了下标为 n 的位置。这个过程有点类似“删除堆顶元素”的操作，当堆顶元素与最后一个元素（下标为n）交换之后，我们把下标为 n 的元素放到了堆顶，然后再通过堆化的方法，将除了下标为n的元素外剩下的 n−1 个元素重新构建成堆。堆化完成之后，我们再取堆顶的元素，放到下标是 n−1 的位置，一直重复这个过程，直到最后堆中只剩一个下标为 1 的元素，排序工作就完成了。

堆排序的过程参考代码如下：

// n表示数据的个数，数组a中的数据从下标1到n的位置。
public static void sort(int[] a, int n) {
  buildHeap(a, n);
  int k = n;
  while (k > 1) {
    swap(a, 1, k);
    --k;
    heapify(a, k, 1);
  }
}

现在，我们再来分析一下堆排序的时间复杂度、空间复杂度以及稳定性。

整个堆排序的过程，都只需要极个别临时存储空间，所以堆排序是原地排序算法，空间复杂度为O(1)。堆排序包括建堆和排序两个操作，建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。
堆排序不是稳定的排序算法，因为在排序的过程，存在将堆的最后一个节点跟堆顶节点互换的操作，所以就有可能改变值相同数据的原始相对顺序。

堆排序 vs 快速排序

在实际开发中，为什么快速排序要比堆排序性能好？主要有两方面的原因。

1. 堆排序数据访问的方式没有快速排序友好。
   对于快速排序来说，数据是顺序访问的。而对于堆排序来说，数据是跳着访问的。 堆排序中，最重要的一个操作就是数据的堆化。比如下面这个例子，对堆顶节点进行堆化，会依次访问数组下标是 1，2，4，8 的元素，而不是像快速排序那样，局部顺序访问，这样对 CPU 缓存是不友好的。
   
2. 对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。
   排序算法中有两个概念：有序度和逆序度。对于基于比较的排序算法来说，整个排序过程就是由两个基本的操作组成的，比较和交换（或移动）。快速排序数据交换的次数不会比逆序度多。但是堆排序的第一步是建堆，建堆的过程会打乱数据原有的相对先后顺序，导致原数据的有序度降低。比如，对于一组已经有序的数据来说，经过建堆之后，数据反而变得更无序了。
   
   不过，快速排序只能应对静态数据；如果数据集合一直在变动，那堆肯定更适合了

小结

一、堆
1.概念：堆是一种完全二叉树。它最大的特性是：每个节点的值都大于等于（或小于等于）其子树节点的值。
2.分类：
大顶堆：每个节点的值都大于等于子树中每个节点值的堆
小顶堆：每个节点的值都小于等于子树中每个节点值的堆

二、堆的实现
1.堆的存储：
完全二叉树比较适合用数组来存储，数组中下标为 i 的节点的左子节点，就是下标为 i∗2 的节点，右子节点就是下标为 i∗2+1 的节点，父节点就是下标为 i/2​ 的节点。
2.往堆中插入一个元素
堆化：把新插入的元素放到堆的最后，然后对其进行调整，让其重新满足堆的特性，这个过程叫作堆化。堆化实际上有两种，从下往上和从上往下。堆化非常简单，就是顺着节点所在的路径，向上或者向下，对比，然后交换。
插入操作：我们可以让新插入的节点与父节点对比大小。如果不满足子节点小于等于父节点的大小关系，我们就互换两个节点。一直重复这个过程，直到父子节点之间满足大小关系。这就是从下往上的堆化方法。
3.删除堆顶元素
堆顶元素存储的就是堆中数据的最大值或者最小值。
假设我们构造的是大顶堆，堆顶元素就是最大的元素。当我们删除堆顶元素之后，把最后一个节点放到堆顶，然后利用同样的父子节点对比方法。对于不满足父子节点大小关系的，互换两个节点，并且重复进行这个过程，直到父子节点之间满足大小关系为止。这就是从上往下的堆化方法。
4.时间复杂度
堆化的时间复杂度跟树的高度成正比，一个包含 n 个节点的完全二叉树，树的高度不会超过 log2​n，因此堆化的时间复杂度是 O(logn)。
插入数据和删除堆顶元素的主要逻辑就是堆化，所以，往堆中插入一个元素和删除堆顶元素的时间复杂度都是 O(logn)。

三、堆排序
1.建堆
建堆的过程，有两种思路：
第一种是借助我们前面讲的，在堆中插入一个元素的思路。尽管数组中包含 n 个数据，但是我们可以假设，起初堆中只包含一个数据，就是下标为 1 的数据。然后，我们调用前面讲的插入操作，将下标从 2 到 n 的数据依次插入到堆中。这样我们就将包含 n 个数据的数组，组织成了堆。
第二种实现思路，跟第一种截然相反，第一种建堆思路的处理过程是从前往后处理数组数据，并且每个数据插入堆中时，都是从下往上堆化。而第二种实现思路，是从后往前处理数组，并且每个数据都是从上往下堆化。将下标从 n/2​ 到 1 的节点，依次进行从上到下的堆化操作，然后就可以将数组中的数据组织成堆这种数据结构。
2.排序
建堆结束之后，数组中的数据已经是按照大顶堆或小顶堆的特性来组织了。迭代地将堆顶的元素放到堆的末尾，并将堆的大小减一，然后再堆化，重复这个过程，直到堆中只剩下一个元素，整个数组中的数据就都有序排列了。
3.时间复杂度
建堆过程的时间复杂度是 O(n)，排序过程的时间复杂度是 O(nlogn)，所以，堆排序整体的时间复杂度是 O(nlogn)。
4.堆排序不是稳定的排序算法。
5.堆排序是原地排序算法，空间复杂度为O(1)。

四、堆排序 vs 快速排序
在实际开发中，快速排序要比堆排序性能好，原因有以下两点：
1.堆排序数据访问的方式没有快速排序友好
2.对于同样的数据，在排序过程中，堆排序算法的数据交换次数要多于快速排序。

参考

《数据结构与算法之美》
王争
前Google工程师