数据结构与算法--二叉树1

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1.概念

1.1结点

结点 是数据结构中的基础，是构成复杂数据结构的基本组成单位。

2.树

2.1树的定义

树（Tree)是n （n>0）个结点的有限集，n=0为空树。
在任意一颗非空树中：

1. 有且仅有一个特定的结点（root）称为根
2. n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2…Tn，其中每个集合本身又是一棵树，并且成为根的子树

2.2结点的度

结点拥有的子数目称为结点的 度。也可以理解为该结点的树枝数量。

2.3结点关系

结点子树的根节点为该节点的 孩子结点。该结点称为孩子结点 的双亲结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。B和C

2.4结点层次

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第一层，以此类推。

2.5树的深度

树中的结点的最大层次数称为树的深度和高度。图中树的深度为4。

3.二叉树

3.1二叉树定义

二叉树 是n(n>0)个结点的有限集合，该集合为空集（空二叉树）或由一个根结点和两颗不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。
如下图一颗普通的二叉树

3.2二叉树的特点

1. 每个节点最多有两颗子树，所以二叉树结点的度<=2
2. 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒
3. 即使树中某个结点只有一个子树，也是要区分他是左子树还是右子树

3.3二叉树的性质

1. 二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点，i>=1
2. 二叉树中如果深度为k，那最多有2^k -1个结点，k>=1
3. n0=n2+1，n0表示度数为0的结点数，n2表示度数为2的结点数。推导:二叉树总结点数n=n0+n1+n2;二叉树的度数总和为0n0+1n1+2n2;度数（即树枝数）=所有结点数-1，所以 n-1=1n1+2n2; n0+n1+n2-1=n1+2n2,所以n0=n2+1
4. 在完全二叉树中，具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2 n]+1，其中[log2 n]向下取整
5. 若对含n个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行1至n的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为i的结点有如下特性:
   1)若i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则，编号[i/2]的结点为其双亲结点
   2)若2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为2i的结点为其左孩子结点
   3)若2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1的结点为其右孩子结点

3.4斜树

斜树：所有的结点都只左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树。

3.5满二叉树

满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上。
满二叉树特点：

1. 叶子只 出现在最下层，出现在其他层就不可能达成平衡
2. 非叶子结点的度为2
3. 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多
   

3.6完全二叉树

完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这颗二叉树称为完全二叉树

完全二叉树的特点：

1. 叶子节点只能出现在最下层和次下层
2. 最下层的叶子结点集中在树的左部
3. 倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置
4. 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树
5. 同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小
   注：满二叉树一定是完全二叉树，反过来不一定成立

3.7二叉树的存储结构

3.7.1顺序存储

二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。

图3.6
图3.6所示的一颗完全二叉树