1.11 商环

§11 商环

显见：同态的核是一个理想。那么，是不是每一个理想都是某一个同态的核？

定理1.11.1

每个理想都是某一同态的核。

证明
设 $I$ 是环 $L$ 的一个理想。 $I$ 作为 $L$ 的加法群的子群， $L$ 的元素按 $I$ 分成陪集：
$r+I, r \in I.$
因为加法群是交换的，故陪集之间可以定义加法。即：
$(r_{1} + I) + (r_{2} + I) = r_{1} + r_{2} + I.$
下面证明：任意两个陪集的积仍属于某个陪集。设:
$x = r_{1} + a \in r_{1} + I, \ 其中 a \in I.$
$y = r_{2} + b \in r_{2} + I, \ 其中 b \in I.$
故
$xy = (r_{1} + a)(r_{2} + b)$
$= r_{1}r_{2} + ar_{2} + r_{1}b + ab \in r_{1}r_{2} + I.$
即：
$(r_{1} + I)(r_{2} + I) \subset r_{1}r_{2} + I.$
定义：
$(r_{1} + I)(r_{2} + I) = r_{1}r_{2} + I.$
可见：两个陪集的乘积和所乘的陪集代表 $r_{1}, r_{2}$ 无关，因此这个定义合理。
陪集的运算实际上归结于陪集代表的运算，故不难验证乘法结合律核分配律。因此，全体陪集所成的集合在如此规定的运算下成一个环。

定义1.11.1

设 $I$ 是环 $L$ 的一个理想。 $L$ 对于 $I$ 的陪集在上面的定义下所成的环称为 $L$ 对于 $I$ 的商环，记为 $L/I$.

不难看出：映射
$\sigma(a) = a + I, \ a\in I.$
是环 $L$ 到商环 $L/I$ 的一个满同态。这个同态的核就是理想 $I.$

故原定理成立：每个理想都是某个同态的核！ $\blacksquare$