Sweet Snippet 系列之 扩展欧几里得算法

扩展欧几里得算法的简单实现

扩展欧几里得算法是欧几里得算法(辗转相除法)的扩展,欧几里得算法可以用于求解两个自然数(记为 $a$ 和 $b$)的最大公约数,而扩展欧几里得算法不仅可以求出 $a$ 和 $b$ 的最大公约数,还能同时计算出两个整数 $x$ 和 $y$, 使它们满足等式(等式中的 $gcd(a, b)$ 即表示 $a$ 和 $b$ 的最大公约数):

$ax + by = gcd(a, b)$

说到算法步骤的话,扩展欧几里得算法其实是逆向运用了欧几里得算法(辗转相除法)的中间结果,有兴趣的朋友可以看看 wiki 上的计算案例,在此我们简单推导一下用于计算 $x$ 和 $y$ 的递推公式,以方便我们编写代码:

首先是基础条件( $b = 0$ 的情况)

$\begin{aligned} & gcd(a, 0) = a \\ & a * 1 + 0 * any = gcd(a, 0) = a => \\ \end{aligned} \\ \left\{ \begin{aligned} & x = 1 \\ & y = 0 \end{aligned} \right.$

当 $b = 0$ 的情况下,我们取 $gcd(a, 0) = a$, 此时 $x = 1$, $y$ 为任意值 都可满足之前的等式,简单起见,我们取 $x = 1, y = 0$.

现在我们知道基础条件下 $x$ 和 $y$ 的取值了,我们看看如何递推求解下一步的 $x$ 和 $y$:

$\begin{aligned} & ax + by = gcd(a, b) \\ & bx' + (a \% b)y' = gcd(b, a \% b) \\ & \because gcd(a, b) = gcd(b, a \% b) \\ & \therefore ax + by = bx' + (a \% b)y' = \\ & bx' + (a - \lfloor a / b \rfloor b)y' = ay' + b(x' - \lfloor a / b \rfloor y') => \end{aligned} \\ \left\{ \begin{aligned} & x = y' \\ & y = x' - \lfloor a / b \rfloor y' \end{aligned} \right.$

以上便是 $x$ 和 $y$ 的递推公式了,有了递推公式,代码就一目了然了(Lua):

-- return { r, x, y }
function gcd_ex(a, b)
    if b == 0 then
        -- base condition
        return { r = a, x = 1, y = 0 }
     else
         -- recursion operation
         local ret = gcd_ex(b, a % b)
         local t = ret.x
         ret.x = ret.y
         ret.y = t - a // b * ret.y
         return ret
     end
end

借助之前的辅助代码,我们就可以简单做测试了:

-- SimplePrintToString is from the previous post
function dump(tbl, depth)
    return SimplePrintToString(tbl, depth)
end

print(dump(gcd_ex(47, 30)))

参考资料

• wiki
• Sweet Snippet系列之 Print Lua Table