脉冲函数与卷积

前言

近来为准备考研复试，又拾起了大三学的懵懵懂懂的《信号与系统》，看的是MIT的公开课（公开课链接），感觉受益匪浅。

记忆中这门课对脉冲函数的响应和对卷积的研究很多，当初也不知道为什么要研究脉冲函数和卷积，直到最近看了公开课才有一些渐渐明白了，以下是自己的一些理解，如果有不正确的地方欢迎指正与探讨。

$LTI$系统的性质

对于离散系统，若 $y_1[n]$是对输入 $x_1[n]$的响应， $y_2[n]$是对输入 $x_2[n]$的响应，那么一个 $LTI$系统应当满足：

1. 可加性： $y_1[n]+y_2[n]$是对输入 $x_1[n]+x_2[n]$的响应；
2. 齐次性： $ay_1[n]$是对输入 $ax_1[n]$的响应，此处 $a$为任意复常数；
3. 时不变： $y_1[n-k]$是对输入 $x_1[n-k]$的响应。

则易证明出：如果 $x_k[n], k=1,2,3,\cdots$，是某一个离散时间线性系统的一组输入，其相应的输出为 $y_k[n], k=1,2,3,\cdots$，那么这一组输入的线性组合
$x[n]=\sum_ka_kx_k[n]=a_1x_1[n]+a_2x_2[n]+\cdots$
的响应就是
$y[n]=\sum_ka_ky_k[n]=a_1y_1[n]+a_2y_2[n]+\cdots$

脉冲函数与卷积

为了方便研究，我们想要把复杂输入信号 $x[n]$给分解成简单的信号的加权和，这样，根据线性系统的可加性和齐次性，系统的响应就是这些简单信号的加权和。在《信号与系统》中，对于离散函数，我们主要有两种方法进行分解：

1. 卷积：将 $x[n]$分解为脉冲函数 $\delta[n]$的加权和；
2. 离散傅里叶变换（其变体如拉普拉斯变换等）：将 $x[n]$分解为 $e^{-jkw_0n}$的加权和。

我们此处仅讨论卷积的分解方法。在理解卷积之前，要先了解一下脉冲函数 $\delta[n]$。

离散的脉冲函数的定义如下

注意到，函数 $\delta[n-k]$（其中 $k$为正整数）可由函数 $\delta[n]$向右平移 $k$个单位而得到，例如：

而 $\delta[n+k]$可以由 $\delta[n]$向左平移相应 $k$个单位长度得到，也就是“左加右减”。

那么，对于一个任意一个离散函数 $x[n]$，我们就可以把它分解为
$x[n]=x[0]\delta[n]+x[1]\delta[n-1]+x[-1]\delta[n+1]+\cdots​$
如果想要理解卷积函数的意义，一定要对照下面的分解图理解上式。

通过观察我们可以将式子
$x[n]=x[0]\delta[n]+x[1]\delta[n-1]+x[-1]\delta[n+1]+\cdots$
写为
$x[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]$
如果我们将离散函数 $f[n]$与 $g[n]$的卷积 $p[n]$记为 $p[n]=f[n]*g[n]$，其定义为：
$p[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}f[k]g[n-k]$
对照输入 $x[n]$的分解式就可以看出，我们将 $x[n]$进行分解，最终写为了 $x[n]$与 $\delta[n]$卷积的形式。要理解此处这一卷积的含义，也就是对输入 $x[n]$的分解。

再回忆起上面所讲到的 $LTI$系统的性质。若系统对输入 $\delta[n]$的响应为 $h[n]$，那么我们就可以得到系统对 $x[n]$的响应 $y[n]$为：
$y[n]=\sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$
可以看出，系统对 $x[n]$的响应 $y[n]$也就是输入 $x[n]$与对脉冲函数响应 $h[n]$的卷积。换句话说，只要确定了 $LTI$系统对脉冲函数 $\delta[n]$的响应，我们就能直接由卷积求得系统对任意输入 $x[n]$的响应 $y[n]$。这便是《信号与系统》研究脉冲函数和卷积的意义。

结语

以上是对最近学习内容的粗浅理解，并且仅以离散系统举例说明，有时间我会补上对连续系统的解释。如果有不对的地方，欢迎您的指正。