对FFT的理解&&FFT模板

FFT(Fast Fourier Transform)

与其有关的有

DFT(Discrete Fourier Transform)

NTT(Number Theoretic Transforms)

类似的有

FWT(Fast Walsh-Hadamard Transform)

与FFT有关的应用

多项式乘法，卷积等等。

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FFT算法讲解

一些你要知道的东东：

多项式相关

• 多项式：多个单项式相加得到的整式
• 多项式的次数界：其最高次项的次数加1，次数界为n的多项式最高次为$x^{n-1}$
• 多项式的表示方法为$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i$
• 多项式的点值运算：将多个不同值代入多项式的x，得出多个$(x_i,A(x_i))$为该多项式的点值运算，一般用n的点（n为该多项式的次数界）
• 多项式的差值运算：已知n个点得出过这些点次数界n的多项式

复数相关

• 虚数单位i：令$i=\sqrt{-1}$，满足$i^2=-1，i^3=\frac 1i=-i，\frac 2{1-i}=1+i$等诸多有趣性质
• 复数：形如$a+bi$的数成为复数，其中a为实部，b为虚部
• 复数直角坐标系：和平面直角坐标系类似，只是用x轴y轴表示实部虚部
• 复数的模长：$|z:a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$即为该复数在复数直角坐标系中与原点的距离。
• 复数的辐角：复数直角坐标系中该复数与x轴的夹角
  

• 复数相乘，模长相乘，辐角相加（用和角公式可以证明）

  令复数$z_1:a+bi$辐角为$\theta_1$，$z_2:x+yi$辐角为$\theta_2$，$z_3=z_1z_2=ax-by+(ay+bx)i$
  设$|z_1|=l_1,|z_2|=l_2,z'_1=z_1/l_1,z'_2=z_2/l_2$，$z'_1:a'+b'i,z'_2:x'+y'i$
  $|z'_1|=|z'_2|=1\therefore a'=\cos(\theta1),b'=\sin(\theta1),x'=\cos(\theta2),y'=\sin(\theta2)$
  $z_3=z_1z_2=l_1l_2z'_1z'_2=l_1l_2(a'x'-b'y'+(a'y'+b'x')i)=l_1l_2(\cos(\theta1)\cos(\theta2)-\sin(\theta1)\sin(\theta2)+(\cos(\theta1)\sin(\theta2)+\sin(\theta1)\cos(\theta2))i)$
  $\therefore z_3=l_1l_2(\cos(\theta1+\theta2)+\sin(\theta1+\theta2)i)$
  $z'_3:\cos(\theta1+\theta2)+\sin(\theta1+\theta2)i\therefore z_3=l_1l_2z'_3$
  易知$|z'_3|=1\therefore |z_3|=|z_1||z_2|$

• 方程$x^n=1$的n次单位复数根为$e^{i\theta}=\cos(\theta)+\sin(\theta)i$（为什么，后面证）其中$\theta=2\pi/n$，第k个根为$W_n^k=e^{\frac{ik\pi}n}$,令$W_n=W_n^1$

• $W_n^k=(W_n)^k$，$W_n^{k+\frac n2}=-W_n^k$，$W_n^{an+k}=W_n^k$，$W_{dn}^{dk}=W_n^k$（消去引理），$(W_n^k)^2=W_n^{2k}=W_{\frac n2}^k$（折半引理）

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——FFT干什么的？
——它是用来处理点值运算和插值运算的，这样它就可以实现多项式乘法了。

因为$A(x)B(x)=C(x)$所以只要知道$A(x)、B(x)$的2n个点值，相乘就可以知道$C(x)$的2n个点值，再通过差值运算求出$C(x)$的表达式

点值运算

$$Y_k=A(W_n^k)=\sum_{l=0}^{n-1}a^le^{\frac{ik\pi}n}$$
点值的取值呢？如果直接带入的话是 $O(n^2)$
想到n次单位复数根与折半引理，是否可以利用分治呢？
下面给出算法：

$A(x)=\sum_{i=0}^{n-1}=a_0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}$
$A_0(x)=a_0+a_2x^1+a_4x^2+\cdots+a_{n-2}x^{\frac n2}$
$A_1(x)=a_1+a_2x^1+a_3x^2+\cdots+a_{n-1}x^{\frac n2}$
易得$A(x)=A_0(x^2)+xA_1(x^2)$
$x=W_n^{0\cdots n-1}$
当$x<\frac n2$时，令$2n'=n$

$$\begin{align} A(W_n^k) & =A_0((W_n^k)^2)+W_n^kA_1((W_n^k)^2)\\ & =A_0(W_n^{2k})+W_n^kA_1(W_n^{2k})\\ & =A_0(W_{n'}^k)+W_n^kA_1(W_{n'}^k)\\ \end{align}$$
$$\begin{align}A(W_n^{k+n'}) & =A_0((W_n^{k+n'})^2)+W_n^{k+n'}A_1((W_n^{k+n'})^2)\\ & =A_0(W_n^{2k+n})+W_n^{k+n'}A_1(W_n^{2k+n})\\ & =A_0(W_{n'}^{k+n'})-W_n^kA_1(W_{n'}^{k+n'})\\ & =A_0(W_{n'}^k)-W_n^kA_1(W_{n'}^k)\\ \end{align}$$
发现两条式子仅仅只是中间的加减号区别，所以只用枚举 $0\dots \frac n2$然后递归下去。
流程大致如下：

void FFT(&A)
    A0={a[0],a[2],a[4],...,a[n-2]}
    A1={a[1],a[3],a[5],...,a[n-1]}
    FFT(a0)FFT(a1)
    for k(0->n/2-1)
        A[k]=A0[k]+W[n/2][k]*A1[k]
        A[k]=A0[k]-W[n/2][k]*A1[k]

差值运算

推式子可得

$$a_k=\frac 1n\sum_{l=0}^{n-1}y^le^{-\frac{ik\pi}n}$$
也就是将点值运算的 $a和y$反过来， $e$的幂取负，再除以n即可。

实现

如果每一次都递归一个数组的话，空间肯定会爆爆炸
观察它的转移方法：

发现x的排序方式是按照二进制反串的大小排的
给出一个高级式子：

for(int i=0,p=0;i<n;i++){
    if(i<p)swap(x[i],x[p]);
    for(int j=n>>1;(p^=j)<j;j>>=1);
}

然后再枚举哪一个位置哪一块转移即可。

void dft(z *a,db sig){
    for(int i=0;i<n;++i)y[i]=a[i];
    for(int i=0,p=0;i<n;i++){
        if(i<p)swap(y[i],y[p]);
        for(int j=n>>1;(p^=j)<j;j>>=1);
    }
    for(int m=2;m<=n;m<<=1){
        int hf=m>>1;
        for(int i=0;i<hf;i++){
            db aug=(db)i/(db)hf*M_PI*sig;
            z w=(z){cos(aug),sin(aug)};
            for(int j=i;j<=n;j+=m){
                int k=j+hf;
                z u=y[j],v=y[k]*w;
                y[j]=u+v;y[k]=u-v;
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<n;i++)a[i]=y[i];
}

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呃呃插一句对$e^{i\theta}=\cos(\theta)+\sin(\theta)i$的证明：
这是个不严谨的严谨证明，最严谨的严谨证明要用到泰勒公式，我不会。。。