DP（动态规划）

1.线性DP

1.数字三角形问题

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 505,INF = 1e9;

int a[N][N];  //存储三角形中的每一个点
int f[N][N];  //f表示状态

int main(){

    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    ios::sync_with_stdio(false);
    
    int n;
    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= i;j++){
            cin >> a[i][j];
        }

    for(int i = 0;i <= n;i++)
        for(int j = 0;j <= i + 1;j++)
            f[i][j] = -INF;

    f[1][1] = a[1][1];
    for(int i = 2;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= i;j++) {
            f[i][j] = max(f[i - 1][j - 1] + a[i][j], f[i - 1][j] + a[i][j]);
        }

    int res = -INF;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        res = max(res,f[n][i]);

    cout << res << endl;

    return 0;
}

2.最长上升子序列问题

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;
int n;
int arr[N];
int f[N];

int main(){

    cin >> n;

    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin >> arr[i];

    for(int i = 1; i <= n;i++){
        f[i] = 1;
        for(int j = 1;j < i;j++){
            if(arr[j] < arr[i])
                f[i] = max(f[i],f[j] + 1);
        }
    }

    int res = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        res = max(res,f[i]);
    }
    
    cout << res << endl;

    return 0;
}

3.最长公共子序列

在这里插入图片描述

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;
char a[N],b[N];
int f[N][N];

int main(){

    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s%s",a + 1,b + 1);

    for(int i = 1;i <= n;i++)
        for(int j = 1;j <= m;j++){
            f[i][j] = max(f[i - 1][j],f[i][j - 1]);
            if(a[i] == b[j]){
                f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][j - 1] + 1);
            }
        }

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

2.区间DP

1.石子合并

问题描述

设有N堆石子排成一排，其编号为1，2，3，…，N。

每堆石子有一定的质量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆石子合并成为一堆。

每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆石子的质量之和，合并后与这两堆石子相邻的石子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同。

例如有4堆石子分别为 1 3 5 2，我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2，又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24；

如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22。

问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小，输出最小代价。

输入格式

第一行一个数N表示石子的堆数N。

第二行N个数，表示每堆石子的质量(均不超过1000)。

输出格式

输出一个整数，表示最小代价。

数据范围

$1 \leq N \leq 300$

输入样例

4
1 3 5 2

输出样例

在这里插入图片描述

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 310;

int n;
int s[N];
int f[N][N];

int main(){

    cin >> n;
    for(int i = 1;i <= n;i++)
        cin >> s[i];

    for(int i = 1;i <= n;i++)
        s[i] += s[i -1];

    for(int len = 2;len <= n;len++)
        for(int i = 1;i + len -1 <= n;i++){
            int l =i,r = i + len -1;
            f[l][r] = 1e8;
            for(int k = l;k < r;k++)
                f[l][r] = min(f[l][r],f[l][k] + f[k + 1][r] + s[r] - s[l - 1]);
        }
     cout << f[1][n] << endl;
    return 0;
}