例题：时间序列

设 ${\varepsilon_t}$是一个均值为0，方差为1的独立同分布随机时间序列，定义如下随机过程：
$X_t=\varepsilon_t-\frac{1}{2}\varepsilon_{t-1}+\frac{1}{2}\varepsilon_{t-2}$

• 求 $E（X_t）$和 ${\rm Var}(X_t)$
  $E（X_t）=0$
  ${\rm Var}(X_t)=(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}){\rm Var}(\epsilon_i)=\frac{3}{2}$
• 证明自相关函数 $\rho_1=-\frac{1}{2}$, $\rho_2=\frac{1}{3}$
  $\rho_1=\frac{{\rm Cov}(X_t,X_{t+1})}{{\rm Var}(X_t)}$
  其中，

${\rm Cov}(X_t,X_{t+1})=E(X_t,X_{t+1})-E(X_t)E(X_{t+1}) E(X_t,X_{t+1})\\=E[(\varepsilon_t-\frac{1}{2}\varepsilon_{t-1}+\frac{1}{2}\varepsilon_{t-2})(\varepsilon_{t+1}-\frac{1}{2}\varepsilon_{t}+\frac{1}{2}\varepsilon_{t-1})]=-\frac{3}{4}$
所以 $\rho=-1/2。$
同理
$\rho_2=\frac{{\rm Cov }(X_t,X_{t+2})}{{\rm Var}(X_t)}=\frac{1/2}{3/2}=\frac{1}{3}$
-当k>2, $\rho _k$应为多少？
当k>2, $E(X_t)(X_{t+k})$都是 $\varepsilon_t$的交叉项，故为0.因而其协方差为零。
$\rho_k=\frac{{\rm Cov}(X_t,X_{t+k})}{{\rm Var}(X_t)}=0$