第十四个知识点：什么是基于对的密码学
这是最新的一期密码学52件事.我们基于前几周介绍一种"对"的概念.
## 对的定义
给定三个循环群\(G_1,G_2,G_3\),它们的基为\(q\),生成器分别为\(g_1,g_2,g_3\).我们说一个函数\(e:G_1 \times G_2 \rightarrow G_3\)是一个密码对如果下面的等式都成立.
- [双线性]$\forall A,B \in G_1,C,D \in G_2:e(A+B,C)=e(A,C) \cdot e(B,C) \(,同时\)e(A,C+D)=e(A,C) \cdot e(A,D)$
- [退化性]\(e(g_1,g_2) \ne 1\)
- [有效性]\(e\)是能有效的计算出来
对的类型
下面有三种对密码的类型:
- \(G_1=G_2\)
- \(G_1 \ne G_2\)但是存在一个有效的可计算同构从\(G_2\)到\(G_1\),同时存在一个映射从\(g_2\)到\(g_1\)
- \(G_1 \ne G_2\)但是不存在一个有效的计算同构
后面两个是非对称的"对",而第一种是对称的"对".
对上的警惕
似乎我总是设置一个警惕部分在我的每篇博客中,但是这些是重要的,我觉得应该被包括.在类型1(和类型2相似)的对(不意味着类型3安全),DDH问题(给定$g,g^x,g^y,g^z \(有\)z = x \cdot y\()是容易的检查是否\)e(g^{x} , g^y)=e(g^z,g)$.另外一个事情就是当用"对"做任何事情的都是都要小心.
对的使用
"对"有一个广泛的应用,包括密码学,基于身份的加密,基于属性的加密和泄露弹性密码学.
对密码的实例
我们知道如何实例化配对的唯一方法是通过椭圆曲线(参见52件事系列的最后几个博客)，这也是椭圆曲线在密码学中如此受欢迎的另一个原因。近年来，多线性映射出现在不同群体的文献中。然而，那是另一个时代的故事了……