floyd(多源最短路)

Floyd-Warshall算法（Floyd-Warshall algorithm）是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或负权的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。Floyd-Warshall算法的时间复杂度为O(N3)，空间复杂度为O(N2)。

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在）

    从任意节点i到任意节点j的最短路径不外乎2种可能，1是直接从i到j，2是从i经过若干个节点k到j。所以，我们假设Dis(i,j)为节点u到节点v的最短路径的距离，对于每一个节点k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

关于这个floyd 更详细的解释 在一个大神的博客中 DP 解释 ，大家可以自己看看。

floyd 的应用

1.找出负环

就像贝尔曼福特一样，我们在不断的松弛(只要还有边可以松弛)，只要存在负环，他就可以一直松弛，对于一个正常的图，floyd使用了n^3的复杂度，对于每一个中间点，我们都进行一个二重循环，尽量将所有的边和点都照顾到，如果没有负环，到最后肯定是任意两点之间都是最短路。出现负环，这个环内，每一个边都是负的，我们在这里判断一下就可以了，出现了负的边，我们就及时的退出，避免TLE，毕竟n^3 的复杂度。(跑数据可以借鉴bell_man ford 里面那个测试代码)。

2.到不了的点。

如果有到不了的节点的话，maap[maxn][maxn]就是inf ,因为可能存在负的环，如果我们到不了这个点的时候，这个点本应该就是inf 的，但是 你可能有负环，他可能就不是inf 了，所以我们在敲代码的时候，我们就应该避免这个事情，就是一个点到不了一个中间点的时候，我们就不用再去找那个中点了(起始都到不了那个中间点，就不用再去看中间点到中间点了，避免inf 因为负环而改变)。同样，如果一个中间点到不了一个终点，我们也要及时continue,避免出错，如果有一条路的话，比较直接到达短还是间接到达短，取那个最小值。

floyd 模板 ：
 

#include<iostream>
const int maxn=115;
typedef long long ll;
const ll inf =0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
using namespace std;
ll maap[maxn][maxn];

int n,m;

void init()
{
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<n;j++)
			if(i==j)
				maap[i][j]=0;
			else
				maap[i][j]=inf;
}

bool floyd()
{
	for(int k=0;k<n;k++)
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			if(maap[i][k]==inf)
				continue;
				
			for(int j=0;j<n;j++)
			{
				if(maap[k][j]==inf)
					continue;
						
				if(maap[i][j]>maap[i][k]+maap[k][j])
					maap[i][j]=maap[i][k]+maap[k][j];
			}
			if(maap[i][i]<0)
				return true;
		}
	return false;
}

int main()
{
	cin>>n>>m;
	init();
	int u,v,val;
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		cin>>u>>v>>val;
		if(maap[u][v]>val)
		{
			maap[u][v]=val;
		}
	}
	if(floyd())
		cout<<"NEGATIVE CYCLE"<<endl;
	else
		for(int i=0;i<n;i++)
		{
			for(int j=0;j<n;j++)
			{
				if(j)
					cout<<' ';
				if(maap[i][j]!=inf)
					cout<<maap[i][j];
				else
					cout<<"INF";
			}
			cout<<endl;			
		}
	return 0;
}
 

就是上面这个模板，主要还是应用到了那个DP的思想。