前面一章，我们通过了梯度下降算法实现目标函数的最小化，从而学习了该神经网络的权重和偏置，但是有一个问题并没有考虑到，那就是如何计算代价函数的梯度，本章的重点就是介绍计算这些梯度的快速算法——反向传播算法，首先先介绍一下上图中以及下面文章中会出现的一些数学符号：
: 表示网络层数
: 表示第 层的第 个神经元的偏置
: 表示第 层的第 个神经元的激活值
: 表示从 层的第 个神经元到第 层的第 个神经元的连接上的权重
: 权重矩阵，其中元素表示 层连接到 层神经元的权重
: 第 层神经元的偏置向量
: 第 层神经元的带权输入向量
: 第 层每个神经元激活值构成的向量
: 第 层第 个神经元的误差
本篇文章是公式重灾区，但是涉及的知识并不高级，这也说明一个道理：
很多看似显而易见的想法只有在事后才变得显而易见。
”
热⾝：神经⽹络中使⽤矩阵快速计算输出的⽅法
通过第一章，我们已经知道每个神经元的激活值的计算方法，根据上面的公式，我们可以得出 的表达方式：
举个例子： 表示第二层的第三个神经元的激活值，那么该输出值怎么同上一层的输出值以及权重关联起来的呢，根据激活值的计算公式，我们可以得出：
可以看到例子中的结果满足表达式，接下来，让我们将表达式改成向量形式：
这个式子是正确的么，我们实际根据第一层到第二层的计算来看看：
首先定义第一层的激活函数输出值向量 :
然后是第一层神经元连接到第二层神经元的权重矩阵：
同理，第二层神经元的偏置向量：
我们的目标是求得第二层神经元激活值构成的向量 :
激活值计算如下：
可以看到 的值和前面第一次举例子算出来的值一致。
关于代价函数的两个假设
我们以均方误差得出的代价函数如下：
公式说明：
是目标输出
是当输入是 时候网络输出的激活值向量
好了，为了应⽤反向传播，我们需要对代价函数 做出什么样的前提假设呢？
第一：代价函数可以被写成⼀个在每个训练样本 上的代价函数 的均值:
第⼆：代价可以写成神经⽹络输出的函数：
为对于⼀个单独的训练样本 其⼆次代价函数可以写作：
反向传播的四个基本方程
反向传播其实是对权重和偏置变化影响代价函数过程的理解，最终极的含义其实就是计算偏导数 和 。
为了计算这些值，我们引入一个中间量 ，其表示的是第 层第 个神经元的误差，其中 表示第 层的误差向量，对于这个误差，我们应该怎样表示呢：
接下来要做的就是将这些误差和 和 联系起来，解决方案就是反向传播基于四个基本⽅程：
输出层误差的⽅程
输出层误差的⽅程， ：每个元素定义如下：
矩阵形式重写⽅程：
其中 就是梯度向量，其元素就是偏导数 的所有元素，以上述二次代价函数为例：
可以得出：
因此方程的矩阵形式可以改成：
推导过程如下：
使用下一层的误差表示当前层的误差
推导过程如下：
代价函数关于⽹络中任意偏置的改变率
推导过程如下：
代价函数关于任何⼀个权重的改变率
推导过程如下：
反向传播的四个基本公式，靠着一个链式法则，就全都推下来了，没有什么难度
反向传播算法
反向传播算法给出了一种计算代价函数梯度的方法，算法描述如下：
输入特征 x：为输⼊层设置对应的激活值
前向传播：对每个 计算相应的 和
输出层误差：
反向误差传播：对每个 ，计算
输出：代价函数的梯度由 得出
反向传播：全局观
假设我们已经对⼀些⽹络中的
显然，这样会造成输出激活值的改变：
然后，会让下一层所有的激活值产生改变：
接着，这些改变都将影响到⼀个个下⼀层，到达输出层，最终影响代价函数：
根据求导的思想，我们可以得出下面公式：
我们知道，
造成了第
层的第
神经元的激活值的变化
，这个变化由下⾯的公式给出：
的变化会造成下一层所有神经元激活值的变化，我们聚焦到其中⼀个激活值上看看影响的情况，不防设 ：
实际上，这会导致下⾯的变化：
我们已经知道，我们可以得到：
就这样一直传播下去，最终将所有的影响汇聚到输出层代价的变化，假设，那么结果的表达式就是：
影响输出层代价的权重值有很多，所以我们需要进行求和：
因为：
带入上面式子，得出：
想起一句歌词，又回到最初的起点，我们竟然就是在做反向传播，神奇。
说明
Neural Networks and Deep Learning[1]
Neural Networks and Deep Learning 中文版[2]
知乎上另外一篇笔记[3]
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往期推荐：
《Neural Networks and Deep Learning》读书笔记系列：1.识别手写字
参考资料
[1]
Neural Networks and Deep Learning: http://neuralnetworksanddeeplearning.com/index.html
[2]Neural Networks and Deep Learning 中文版: https://github.com/zhanggyb/nndl
[3]知乎上另外一篇笔记: https://zhuanlan.zhihu.com/p/26765585
