【有趣的面试算法题】之二 求1~n的整数中1的个数，递归统计区间块中1的数量

题目：求1~n的整数中1的个数。

常规做法是，先写一个右移判1的子函数，计算每个数里面的1的个数，然后遍历1~n，取和，就是答案。

在百度文库(http://wenku.baidu.com/view/6722a969af1ffc4ffe47ac18.html)中看到有这样一个解法：

//计算整数 1~n 中的1的个数总和
ULONGLONG Sum1s(ULONGLONG n) 
{   
    ULONGLONG iCount = 0;
    ULONGLONG iFactor = 1; 
    ULONGLONG iLowerNum = 0;
    ULONGLONG iCurrNum = 0;
    ULONGLONG iHigherNum = 0; 
    while(n / iFactor != 0) 
    { 
        iLowerNum = n - (n / iFactor) * iFactor;
        iCurrNum = (n / iFactor) % 10; 
        iHigherNum = n / (iFactor * 10);
        switch(iCurrNum)
        {
        case 0:  
            iCount += iHigherNum * iFactor;
            break; 
        case 1:    
            iCount += iHigherNum * iFactor + iLowerNum + 1; 
            break; 
        default:   
            iCount += (iHigherNum + 1) * iFactor;
            break; 
        }  
        iFactor *= 10; 
    }  
    return iCount;
} 

据它说“ 这个方法只要分析N就可以得到f（N），避开了从1到N的遍历，输入长度为Len的数字N的时间复杂度为O（Len），即为O（ln（n）/ln（10）+1）。在笔者的计算机上，计算N=100 000 000，相对于第一种方法的40秒时间，这种算法不到1毫秒就可以返回结果，速度至少提高了40 000倍。”

但不知为何没能运行正确，尽管没有看懂思路，但觉得还蛮有启发，直接从 n 入手分析，避免遍历1~n，于是我研究一会之后，观察到有这么一个现象：在二进制表示中，N位的000...000 ~111...111 之间0 与 1的个数相等！如下图所示：

                                       

于是基于递归法的实现方法如下所示，并且递归深度不会超过 n 的最高非0 bit位数，比较快吧？

//计算整数 1~n 中的1的个数总和
ULONGLONG Sum1s(ULONGLONG n) 
{   
    if (n <= 2)
    {
        return n;
    }

    
    ULONGLONG iFactor = 3; 
    ULONGLONG iLen = 1;
    while(n >= iFactor) //找出最大的、小于n的、bit位全部为1 的数
    { 
        iFactor <<=1;
        iFactor |= 1;
        ++iLen;
    }  

    iFactor >>=1;
   
 
    ULONGLONG iCount =((iFactor + 1)*iLen)>>1; //这一片区域的1 0 数量相等
    if ( iFactor == n)
    {
        return iCount;
    }
    else
    {
        return (iCount + n - iFactor + Sum1s(n & (iFactor)));
    }
    
}