具体数学之和式和递归式（SUMS AND RECURRENCES）

具体数学第二章2.1~2.3小节，希望对大家有帮助！交流使你我共同进步^^

引子

我们对下述和式 $S _ { n } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k }$应该很熟悉，可以想到高等数学中的级数，用求导之类的方法计算。那么它和递归式有何联系呢？
其实上面的求和表达式可以转化为下述递归表达式：
$S _ { 0 } = a _ { 0 }$
$S _ { n } = S _ { n - 1 } + a _ { n }$
那么我们就可以用第一章节学到的求解递归式的方法来做了。

试想 $a _ { n } = \beta + \gamma n \quad$ for $n > 0$，可以转化成求解
$R _ { 0 } = \alpha$
$R _ { n } = R _ { n - 1 } + \beta + \gamma n \quad$ for $n > 0$

那么 $R _ { 1 } = \alpha + \beta + \gamma , R _ { 2 } = \alpha + 2 \beta + 3 \gamma$
对于上述式子，如果用 $\mathrm { A } ( \mathrm { n } ) , \mathrm { B } ( \mathrm { n } ) , \mathrm { C } ( \mathrm { n } )$来表示 $\alpha , \beta , \gamma$前的系数

$R _ { n } = A ( n ) \alpha + B ( n ) \beta + C ( n ) \gamma$

记得第一章讲过的成套方法，主要是先寻找一组容易知道的特解，然后将特殊情形组合起来求解一般式。
例如上述例子可以先假设三种情形：
1） $R_{n}=1$ $\Rightarrow$ $\alpha=1, \beta=\gamma=0$ $\Rightarrow$ $A(n)=1$
2） $R_{n}=n$ $\Rightarrow$ $\alpha=0, \beta=1,\gamma=0$ $\Rightarrow$ $B(n)=n$
3） $R_{n}=n^{2}$ $\Rightarrow$ $\alpha=0, \beta=-1,\gamma=2$ $\Rightarrow$ $2 \mathrm{C}(\mathrm{n})-\mathrm{B}(\mathrm{n})=\mathrm{n}^{2}$ $\Rightarrow$ $C(n)=\left(n^{2}+n\right) / 2$
上述例子巧妙地将和式转化为递归式来求解，当然递归式也可以转化为和式求解。

求和因子（summation factor）

$a_{n}T_{n}=b_{n}T_{n-1}+c_{n}$

两边同乘 $S_{n}$ $\Rightarrow$ $S_{n}a_{n}T_{n}=S_{n}b_{n}T_{n-1}+S_{n}c_{n}$，（若要转化为求和递归式，形如：

$S_{n}b_{n}=S_{n-1}a_{n-1}$ ）

令 $S_{n}'=S_{n}a_{n}T_{n}$，得

$S_{n}'=S_{n-1}'+S_{n}c_{n}=S_{0}a_{0}T_{0}+\sum ^{n}_{k=1}S_{k}c_{k}=S_{1}b_{1}T_{0}+\sum ^{n}_{k=1}S_{k}c_{k}$

$\Rightarrow$ $T _ { n } = \frac { 1 } { s _ { n } a _ { n } } \left( s _ { 1 } b _ { 1 } T _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } s _ { k } c _ { k } \right)$

问题迎刃而解！但是我们怎么才能计算出 $Sn$？

再来看这个式子， $S_{n}b_{n}=S_{n-1}a_{n-1}$，可以用递推方式转化成 $s _ { n } = \frac { a _ { n - 1 } a _ { n - 2 } \cdots a _ { 1 } } { b _ { n } b _ { n - 1 } \cdots b _ { 2 } }$

PS：这里的所有a，b均不为0，否则没有意义啦！
有人会想，这边是不是少了一个 $s _ { n }$，是的，因此是采用上述 $s _ { n }$的某个倍数来做乘积，不过没有关系啦，反正两边可以约掉。

例题

例题1：设n个数的快速排序，平均次数满足

$\begin{array} { l } { C _ { 0 } = C _ { 1 } = 0 } \\ { C _ { n } = n + 1 + \frac { 2 } { n } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } C _ { k } , \quad n > 1 } \end{array}$

首先避免除法，其次想到把求和符号去掉，两边同乘 $n$，去掉分母中的 $n$，得到

$n C _ { n } = n ^ { 2 } + n + 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } C _ { k } , \quad n > 1（1）$

用 $n-1$代替 $n$

$( n - 1 ) C _ { n - 1 } = ( n - 1 ) ^ { 2 } + ( n - 1 ) + 2 \sum _ { k = 0 } ^ { n - 2 } C _ { k } , \quad n - 1 > 1（2）$

（1）-（2）式相减，转化成

$C _ { 0 } = C _ { 1 } = 0 ; C _ { 2 } = 3$
$n C _ { n } = ( n + 1 ) C _ { n - 1 } + 2 n , \quad n > 2$

由上述的求和因子法可以得到 $a _ { n } = n , \quad b _ { n } = n + 1$

$\Rightarrow$ $s _ { n } = \frac { a _ { n - 1 } a _ { n - 2 } \cdots a _ { 1 } } { b _ { n } b _ { n - 1 } \cdots b _ { 2 } } = \frac { ( n - 1 ) \times ( n - 2 ) \times \cdots \times 1 } { ( n + 1 ) \times n \times \cdots \times 3 } = \frac { 2 } { ( n + 1 ) n }$

$\Rightarrow$ $C _ { n } = 2 ( n + 1 ) \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k + 1 } - \frac { 2 } { 3 } ( n + 1 ) , \quad n > 1$

$\Rightarrow$ $C _ { n } = 2 ( n + 1 ) H _ { n } - \frac { 8 } { 3 } n - \frac { 2 } { 3 }$

顺便提一哈，这边 $H _ { n } = 1 + \frac { 1 } { 2 } + \dots + \frac { 1 } { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { k }$ 称为调和数（harmonic number）

求和三大定律

分配律、结合律、交换律
如下例题：

所谓扰动法就是把单独一项从和式中分出去。

小故事
肯尼斯·艾弗森在他的程序语言APL中引入了一个奇妙的思想，就是上述表达式的转换，把一个为真或者为假的命题放在括号中
$[p是素数]=\left\{ \begin{array} { l } { 1 , p是素数 } \\ { 0 , p不是素数 } \end{array} \right.$