BZOJ - 1257 余数之和(数学)

题意：给定正整数$n$和$k$，计算$k\%1+k\%2+\dots+k\%n$的值

思路：因为$k\%i=k-\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor * i$，所以问题就转换为计算$n*k-\sum _{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor*i$

在某一段区间$(l,r)$内$\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor$的值是相等的，并且等于$\left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor$，其中$r=\left \lfloor \frac{k}{\left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor} \right \rfloor$

证明：设$g(x)=\left \lfloor \frac{k}{\left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor} \right \rfloor$

因为

$$\left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor\leq \frac{k}{x}$$

所以

$$\left \lfloor \frac{k}{\left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor} \right \rfloor\geq \left \lfloor \frac{k}{\frac{k}{x}} \right \rfloor=x$$

即$g(x)\geq x$，于是有

$$\left \lfloor \frac{k}{g(x)} \right \rfloor\leq \left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor\tag{1}$$

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又因为

$$\left \lfloor \frac{k}{\left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor} \right \rfloor\leq \frac{k}{\left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor}$$

所以

$$\frac{k}{\left \lfloor \frac{k}{\left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor} \right \rfloor}\geq \frac{k}{\frac{k}{\left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor}}=\left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor$$

即

$$\left \lfloor \frac{k}{g(x)} \right \rfloor\geq \left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor\tag{2}$$

由$(1)(2)$得

$$\left \lfloor \frac{k}{g(x)} \right \rfloor= \left \lfloor \frac{k}{x} \right \rfloor$$

所以在$i\in[x,g(x)]$范围内，有$\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor$的值都相等，即$r=\left \lfloor \frac{k}{\left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor} \right \rfloor$

在求$\sum _{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{k}{i} \right \rfloor*i$时，可以分为一块一块来求，对于每一块，把$\left \lfloor \frac{k}{l} \right \rfloor$，然后利用等差数列求和公式求出$\sum _{i=l}^{r}i$即可。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>

using namespace std;

typedef long long ll;

ll n, k;

int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &k);
    ll res = n * k;
    for (ll l = 1, r = 0; l <= n; l = r + 1) {
        if (k / l) r = min(k / (k / l), n);
        else r = n;
        res -= (k / l) * (r - l + 1) * (l + r) / 2;
    }
    printf("%lld\n", res);
    return 0;
}

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