数理统计——四大分布、置信区间

问题：

一批零件长度服从\(N(\mu,\sigma^2)\)的正态分布，\(\mu,\sigma^2\)均为未知，现在随机抽取16个零件，\(\bar x=20(cm),S=1(cm)\)，则\(\mu\)的置信度为0.90的置信区间为_________.

统计量：

1、样本均值：\(\bar X={1\over n} \sum^n_{i=1}X_i\).
2、样本方差：\(S^2={1\over n-1}\sum^n_{i=1}(X_i-\bar X)^2 \).

四大分布：

1、正态分布：\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\),    期望：\(EX=\mu\),    方差：\(DX=\sigma^2\),    标准化：\(X-\mu\over{\sigma^2}\sim N(0,1)\).
2、\(\chi^2\)分布：若\(X_1,X_2,...X_n\sim N(0,1)\)，则
$$X=\sum^n_{i=1}X^2_i\sim \chi^2(n),自由度为n$$
3、t分布：若\(X\sim N(0,1)\)，若\(Y\sim \chi^2(n)\)，且\(X,Y\)相互独立：
$$t={X\over\sqrt{Y\over n}}\sim t(n),自由度为n.$$
4、F分布：若\(X\sim \chi^2(n_1)\)，若\(Y\sim \chi^2(n_2)\)，且\(X,Y\)相互独立：
$$F={{X/n_1}\over{Y/n_2}}\sim F(n_1,n_2)自由度n_1,n_2.$$

上\(\alpha\)分位数：

\(P(U\geq u_\alpha)=\alpha,u_\alpha \)为上\(\alpha\)分位数.

置信度：

\(P(|\bar X-\mu|<\delta)=1-\alpha, 1-\alpha\)为置信度, \(\alpha\)为显著性水平，人为选取.
$$S^2={1\over {n-1}}\sum^n_{i=1}(X_i-\bar X)^2$$
$${(n-1)S^2\over \sigma^2}=\sum^n_{i=1}\left(X_i-\bar X\over{\sigma}\right)^2\sim\chi^2(n-1)$$
$${{\bar X-\mu}\over{S/\sqrt n}}={{{\bar X-\mu}\over{\sigma/n}}\over{S/\sigma}}={{{\bar X-\mu}\over{\sigma/\sqrt n}}\over{\sqrt{{{\left(n-1\right)S^2}\over{\sigma^2}}\over{n-1}}}}\sim t(n-1).$$
$$P\left(\left|{{\bar X-\mu}\over{S/\sqrt n}}\right|<{\delta\over{S/\sqrt n}}\right)=1-\alpha$$
$$P(|t|<t_{\alpha\over 2}(n-1))=1-\alpha$$
$$\delta=t_{\alpha\over 2}(n-1)S/\sqrt n$$

置信区间：

\((\bar X-\delta,\bar X+\delta)\), \(\mu\)在置信区间的概率为\(1-\alpha\).