BZOJ2654——WQS二分+最小生成树

Description

给你一个无向带权连通图，每条边是黑色或白色。让你求一棵最小权的恰好有need条白色边的生成树。
题目保证有解。
Input

第一行V,E,need分别表示点数，边数和需要的白色边数。
接下来E行,每行s,t,c,col表示这边的端点(点从0开始标号)，边权，颜色(0白色1黑色)。
Output

一行表示所求生成树的边权和。
V<=50000,E<=100000,所有数据边权为[1,100]中的正整数。
Sample Input

2 2 1

0 1 1 1

0 1 2 0
Sample Output

2

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这道题的算法是WQS二分，关于WQS二分，可以看网上的论文：WQS二分的论文，反正我也没怎么看过，听ZH学长讲的。

WQS二分的大意就是某个东西越多对答案的贡献越大，而题目要求取k个这个东西，我们就二分一个cost，然后贪心做出答案x，则最终的值为x-cost*k。cost越大，物品数取越少。二分cost 使得 DP得到的答案刚好取了n个物品。设g(x)表示取x个时的总贡献。必须满足g(x)斜率不增才能WQS二分。

可能这样讲十分玄学，也很难懂。所以就拿这题为例：

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我们考虑将所有的白色的边加上一个cost，如x至y有一条白色边权值为len，那我们将它的权值变为cost+len，然后我们做最小生成树，很明显，如果加上的cost越大，所选的白色边越少，所以我们就二分这个cost，直至刚好选了need条时，则答案就是生成树的权值-need*cost。

这题还有一个细节，就是sort的时候如果有两条边权值相同，则我们优先选白色的边，因为这样能确保二分的单调性，如果每次随机取可能会有错误。

至于WQS二分要求的g(x)斜率不增可以感性理解。对于最小生成树，选的边越多，肯定越不优（瞎说的，大致的感性理解）

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int read(){
    char c;int x;while(c=getchar(),c<'0'||c>'9');x=c-'0';
    while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0';return x;
}
int n,m,need,l,r,tot,mid,sum,fa[50005];
struct node{
    int a,b,len,col;
}F[100005];
int find(int x){
    if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);
    return fa[x];
}
void unionn(int x,int y){
    x=find(x);y=find(y);
    fa[y]=x;
}
int cmp(node a,node b){
    return a.len==b.len?a.col<b.col:a.len<b.len;
}
int check(int x){
    int k=0,res=0;tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
      if(!F[i].col) F[i].len+=x;
    sort(F+1,F+1+m,cmp);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(k==n-1) break;
        if(find(F[i].a)!=find(F[i].b)){
            unionn(F[i].a,F[i].b);
            tot+=F[i].len;k++;
            if(!F[i].col) res++;
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
      if(!F[i].col) F[i].len-=x;
    return res>=need;
}
int main()
{
    n=read();m=read();need=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x=read(),y=read(),c=read(),col=read();
        F[i]=(node){x+1,y+1,c,col};
    }
    l=-105,r=105;
    while(l<=r){
        mid=(l+r)>>1;
        if(check(mid)) l=mid+1,sum=tot-need*mid; 
        else r=mid-1;
    }
    printf("%d",sum);
    return 0;
}