2.矩阵消元
方程组:
x+2y+z=23x+8y+z=124y+z=2
写为矩阵的形式:
⎣⎡130284111⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤=⎣⎡2122⎦⎤
直接的解法是通过(1)(2)(3)进行消元运算,当然是很直接的方法,但是不断地重复x,y,=的书写挺无聊,故我们在此用矩阵消元的方式来解该方程,实际上思想完全一致,只是更加简洁.写出增广矩阵:
⎣⎡1302841112122⎦⎤
开始消元:
⎣⎡1302841112122⎦⎤−>⎣⎡1002241−21262⎦⎤−>⎣⎡1002201−2526−10⎦⎤
故我们消元后得到的矩阵为:
⎣⎡1002201−2526−10⎦⎤
由下向上解得:
z=−2y=2x=4
消元过程中行变换是没有影响的,但是列变换将影响变量的位置
我们来分析一下这个过程,泛化一下:
⎣⎡∗∗∗∗∗∗∗∗∗⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤=⎣⎡abc⎦⎤
还是用列向量和行向量的办法去看,该过程可以分为两个角度去看
列向量的线性组合:
⎣⎡∗∗∗∗∗∗∗∗∗⎦⎤⎣⎡xyz⎦⎤=x⎣⎡∗∗∗⎦⎤+y⎣⎡∗∗∗⎦⎤+z⎣⎡∗∗∗⎦⎤=⎣⎡abc⎦⎤−−−−−−列1−−列2−−−列3
行向量则是符合矩阵乘法的方式:
行1[∗∗∗]⎣⎡xyz⎦⎤=a行2[∗∗∗]⎣⎡xyz⎦⎤=b行3[∗∗∗]⎣⎡xyz⎦⎤=c
原始课程笔记:https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06sc-linear-algebra-fall-2011/ax-b-and-the-four-subspaces/elimination-with-matrices/MIT18_06SCF11_Ses1.2sum.pdf