数据结构与算法—2-3查找树 红黑树

1 2-3查找树

1.1概念

名称	key个数	节点
2节点(2-node)	1	2
2节点(2-node)	2	3

1. 要么为空，要么：
2. 对于2节点，该节点保存一个key及对应value，以及两个指向左右节点的节点，左节点也是一个2-3节点，所有的值都比key有小，右节点也是一个2-3节点，所有的值比key要大。
3. 对于3节点，该节点保存两个key及对应value，以及三个指向左中右的节点。左节点也是一个2-3节点，所有的值均比两个key中的最小的key还要小；中间节点也是一个2-3节点，中间节点的key值在两个跟节点key值之间；右节点也是一个2-3节点，节点的所有key值比两个key中的最大的key还要大
   
   如果中序遍历2-3查找树，就可以得到排好序的序列。在一个完全平衡的2-3查找树中，根节点到每一个为空节点的距离都相同。

1.2要求

1.3操作

1.3.1插入

1. 往一个2-node节点插入 往2-3树中插入元素和BST插入元素一样，首先要进行查找，然后将节点挂到未找到的节点上。 如果查找后找到的节点是一个2-node节点，只需要将新的元素放到这个2-node节点里面使其变成一个3-node节点即可
   

2. 往一个3-node节点插入往一个3-node节点插入一个新的节点可能会遇到很多种不同的情况。

3. 有3种情况
   1： 只包含一个3-node节点
   2：节点是3-node，父节点是2-node
   1：当插入的节点是3-node的时候，将该节点拆分，中间元素提升至父节点，
   2：但是此时父节点是一个3-node节点，插入之后，父节点变成了4-node节点，然后继续将中间元素提升至其父节点，
   3：直至遇到一个父节点是2-node节点，然后将其变为3-node，不需要继续进行拆分。

3：节点是3-node，父节点也是3-node
1：当插入的节点是3-node的时候，将该节点拆分，中间元素提升至父节点，
2：但是此时父节点是一个3-node节点，插入之后，父节点变成了4-node节点，
3：然后继续将中间元素提升至其父节点，直至遇到一个父节点是2-node节点，然后将其变为3-node，不需要继续进行拆分。

其中有特殊情况
1：根节点分裂

当根节点到子节点都是3-node节点的时候，这是如果要在字节点插入新的元素的时候，会一直查分到跟节点，在最后一步的时候，跟节点变成了一个4-node节点，这个时候，就需要将跟节点查分为两个2-node节点，树的高度加1。

1.3.1删除

2红黑树

2.1概念

1. 红黑树是一种具有红色和黑色链接的BST
2. 节点是红色或黑色。
3. 根节点和叶子节点（NIL节点）都是黑色。
4. 每个红色节点的两个子节点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色节点)
5. 从任一节点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色节点。

2.2背景

2-3查找树能保证在插入元素之后能保持树的平衡状态，最坏情况下即所有的子节点都是2-node，树的高度为lgN，从而保证了最坏情况下的时间复杂度。但是2-3树实现起来比较复杂。红黑树是一种简单实现2-3树的数据结构。