当我们遇到字符串为“aaaaaaaaa”,之前的算法就会发生各个回文相互重叠的情况,会产生重复计算,然后就产生了一个问题,能否改进?答案是能,1975年,一个叫Manacher发明了Manacher Algorithm算法,俗称马拉车算法,其时间复杂为O(n)。该算法是利用回文串的特性来避免重复计算的,至于如何利用,且由后面慢慢道来。
在时间复杂度为O(n^2)的算法中,我们在遍历的过程要考虑到回文串长度的奇偶性,比如说“abba”的长度为偶数,“abcba”的长度为奇数,这样在寻找最长回文子串的过程要分别考奇偶的情况,是否可以统一处理了?
马拉车算法:
一)第一步是改造字符串S,变为T,其改造的方法如下:
在字符串S的字符之间和S的首尾都插入一个“#”,如:S=“abba”变为T="#a#b#b#a#" 。我们会发现S的长度是4,而T的长度为9,长度变为奇数了!!那S的长度为奇数的情况时,变化后的长度还是奇数吗?我们举个例子,S=“abcba”,变化为T=“#a#b#c#b#a#”,T的长度为11,所以我们发现其改造的目的是将字符串的长度变为奇数,这样就可以统一的处理奇偶的情况了。
//如果最终的S中的最长回文子串长度是奇数,那么最中间的字符一定是非’#‘字符。如果是偶数,最中间的字符一定是T中的'#’字符
二)第二步,为了改进回文相互重叠的情况,我们将改造完后的T[ i ] 处的回文半径存储到数组P[ ]中,P[ i ]为新字符串T的T[ i ]处的回文半径,表示以字符T[i]为中心的最长回文字串的最端右字符到T[i]的长度,如以T[ i ]为中心的最长回文子串的为T[ l, r ],那么P[ i ]=r-i+1。这样最后遍历数组P[ ],取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示该回文串就是T[ i ]本身。举一个简单的例子感受一下:
数组P有一性质,P[ i ]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度 ,那就是P[i]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度,至于证明,首先在转换得到的字符串T中,所有的回文字串的长度都为奇数,那么对于以T[i]为中心的最长回文字串,其长度就为2*P[i]-1,经过观察可知,T中所有的回文子串,其中分隔符的数量一定比其他字符的数量多1,也就是有P[i]个分隔符,剩下P[i]-1个字符来自原字符串,所以该回文串在原字符串中的长度就为P[i]-1。【这段解释引用 dyx心心】
另外,由于第一个和最后一个字符都是#号,且也需要搜索回文,为了防止越界,我们还需要在首尾再加上非#号字符,实际操作时我们只需给开头加上个非#号字符,结尾不用加的原因是字符串的结尾标识为'\0',等于默认加过了。这样原问题就转化成如何求数组P[ ]的问题了。
三)如何求数组P [ ]
从左往右计算数组P[ ], Mi为之前取得最大回文串的中心位置,而R是最大回文串能到达的最右端的值。
以上蓝色区域为博主的看法,但是我认为是错误的,应该是:R表示找到的已经找到的回文串的最大的右界,Mi表示对应的最大的右界的回文串的中心。
1)当 i <=R时,如何计算 P[ i ]的值了?毫无疑问的是数组P中点 i 之前点对应的值都已经计算出来了。利用回文串的特性,我们找到点 i 关于 Mi 的对称点 j ,其值为 j= 2*Mi-i 。因,点 j 、i 在以Mi 为中心的最大回文串的范围内([L ,R]),
a)那么如果P[j] <R-i (同样是L和j 之间的距离),说明,以点 j 为中心的回文串没有超出范围[L ,R],由回文串的特性可知,从左右两端向Mi遍历,两端对应的字符都是相等的。所以P[ j ]=P[ i ](这里得先从点j转到点i 的情况),如下图:
b)如果P[ j ]>=R-i (即 j 为中心的回文串的最左端超过 L),如下图所示。即,以点 j为中心的最大回文串的范围已经超出了范围[L ,R] ,这种情况,等式P[ j ]=P[ i ]还成立吗?显然不总是成立的!因,以点 j 为中心的回文串的最左端超过L,那么在[ L, j ]之间的字符肯定能在( j, Mi ]找到相等的,由回文串的特性可知,P[ i ] 至少等于R- i,至于是否大于R-i(图中红色的部分),我们还要从R+1开始一一的匹配,直达失配为止,从而更新R和对应的Mi以及P[ i ]。
2)当 i > R时,如下图。这种情况,没法利用到回文串的特性,只能老老实实的一步步去匹配。
#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<string>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long ll;
int p[220002];
char res[220005];
char s[220010];
inline int Min(int x,int y){
return x<y?x:y;
}
ll manacher(char *s,ll len){
res[0]='@';
res[1]='#';
int cnt=1;
for(cnt=0;cnt<len;cnt++){
res[2*cnt+2]=s[cnt];//这里最好不要用另一个计数器,容易超时
res[2*cnt+3]='#';
}
res[len=2*len+2]='\0';
int mi=0,r=0;
ll maxlen=0;
for(int i=1;i<len;i++){
p[i]=r>i?Min(p[2*mi-i],r-i):1;//判断i和r的关系
while(res[i+p[i]]==res[i-p[i]]){//暴力部分
++p[i];
}
if(r<i+p[i]){//更新r和mi
mi=i;
r=i+p[i];
}
if(p[i]>maxlen){//更新最大长度
maxlen=p[i];
}
}
return maxlen-1;
}
int main(){
while(~scanf("%s",s)){
ll Len=strlen(s);
memset(p,0,sizeof(p));
ll len=manacher(s,Len);
printf("%lld\n",len);
}
return 0;
}
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* ┃ ┃ Code is far away from bug with the animal protecting
* ┃ ┃ 神兽保佑,代码无bug
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// warm heart, wagging tail,and a smile just for you!
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